Финансовая математика в задачах ГИА. Алгоритмы решения задач на банковские вклады, кредиты и проценты

Август 11, 2022

Главная
Математика
Финансовая математика в задачах ГИА. Алгоритмы решения задач на банковские вклады, кредиты и проценты

Содержание

2. Проценты Процент – это сотая часть величины или числа. Перевод дроби в проценты: чтобы перевести обыкновенную
3. Чтобы высчитать какой-либо процент от числа, следует само число разделить на 100, а полученный результат умножить
4. Примеры решения заданий из открытого банка заданий для подготовки к ГИА Пример 1. Тетрадь стоит 24
5. Пример 2. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько
6. Пример 3. В школе французский язык изучают 124 учащихся, что составляет 25% от числа всех учащихся
7. Пример 4. В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди
8. Пример 5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария
9. Пример 6. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%,
10. Финансовая математика Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми
11. Схемы решения задач на кредиты Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах.
12. Примеры решения заданий из открытого банка заданий для подготовки к ГИА Пример 1. 31 декабря 2014
13. Решение. Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда 31 декабря каждого года
14. Пример 2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По
15. Решение. Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей. Нарисуем схему начисления процентов
16. Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна После первой выплаты
17. Обозначим эту сумму Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Эту
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Проценты
Процент – это сотая часть величины или числа.
Перевод дроби в проценты:

чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала перевести её в десятичную дробь, а потом умножить на 100 и добавить знак %.
Представление процентов десятичными дробями: чтобы проценты перевести в число, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Слайд 3

Чтобы высчитать какой-либо процент от числа, следует само число разделить на

100, а полученный результат умножить на количество процентов. (чтобы найти a% от b, надо b*0,01a)
Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на указанную величину процента, а результат умножить на 100. (Если известно, что a% числа х равно b, то х=b: 0,01а)
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.
Отношение двух чисел – это частное от деления одного из них на другое.
Пропорция – это верное равенство двух отношений.
В пропорции a:b =c:d числа a и d называют крайними, а числа b и c – средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Слайд 4

Примеры решения заданий из открытого банка заданий для подготовки к ГИА
Пример

1. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?
Решение. За 60 тетрадей покупатель заплатил бы
60 · 24 = 1440 рублей.
Скидка составит 10%, т. е. 10% = 0,1, 1440  · 0,1 = 144 рубля. Значит, покупатель заплатит
1440 − 144 = 1296 рублей.
Ответ: 1296.

Слайд 5

Пример 2. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала

стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
Решение. Цена на футболку была снижена на
800 − 680 = 120 рублей.
Разделим 120 на 800:
120 : 800 = 0,15
Значит, цена на футболку была снижена на 15%.
Ответ: 15.

Слайд 6

Пример 3. В школе французский язык изучают 124 учащихся, что составляет

25% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?
Решение. Запишем проценты в виде десятичной дроби:
25 % = 25 :100 = 0,25.
Разделим 124 на 0,25:
124 : 0,25 = 496.
Значит, в школе учится 496 учеников.
Ответ: 496.

Слайд 7

Пример 4. В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15%

детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
Решение. Найдем сначала численность взрослого населения. В городе 15% детей и подростков, значит, 100-15=85% взрослого населения. Запишем проценты десятичной дробью:
85 : 100 = 0,85.
200000  ·  0,85 = 170000 человек взрослого населения.
Среди них 45% не работающих, то есть работающих
100-45=55% , 55% = 55 : 100 = 0,55.
Значит, 170000  · 0,55 = 93500 взрослых жителей работает.
Ответ: 93500.

Слайд 8

Пример 5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После

удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная платы Марии Константиновны?
Решение. Пусть заработная плата Марии Константиновны составляет x рублей. Тогда:
x − 0,13x = 9570;
0,87x = 9570;
x = 9570 : 0,87;
x = 11 000.
Значит, зарплата Марии Константиновны составляет 11 000 рублей.
Ответ: 11 000.

Слайд 9

Пример 6. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в

октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Решение. В октябре виноград подорожал на 60 · 0,25 = 15 рублей и стал стоить 60 + 15 = 75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 · 0,2 = 15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил 75 + 15 = 90 рублей.
Ответ: 90.

Слайд 10

Финансовая математика
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными

с финансовыми расчётами.
Объектом изучения являются любые финансово-кредитные операции, которые предполагают наличие ряда условий, с которыми согласны участвующие стороны. К таким условиям относятся:
денежные суммы;
временные параметры;
процентные ставки и некоторые другие дополнительные величины.

Слайд 11

Схемы решения задач на кредиты
Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или

известна информация о платежах.
Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга.
В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.
Схемы решения задач на кредиты отличаются друг от друга.
Поэтому первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Слайд 12

Примеры решения заданий из открытого банка заданий для подготовки к ГИА
Пример

1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Алексей выплатит долг четырьмя равными платежами.

Слайд 13

Решение. Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда 31

декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − x.
После второй выплаты сумма долга составит
S2 = S1b - x = (Sb - x)b - x = Sb2 - (1 + b)x.
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
S3 = Sb3 - (1 + b +b2)x
После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна
S4 = Sb4 - (1 + b +b2 +b3)x
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому
Sb4 - (1 + b +b2 +b3)x = 0, откуда x = Sb4 : (1 + b +b2 +b3) .
При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и
x = 2296350 (рублей)
Ответ: 2 296 350.

Слайд 14

Пример 2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей

на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Слайд 15

Решение. Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч

рублей.
Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.
Как обычно,

Слайд 16

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая

ступенька равна
После первой выплаты сумма долга равна
после второй Тогда первая выплата
вторая выплата , . . . .
Последняя в году выплата
Сумма всех выплат в течение первого года:
В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой

Слайд 17