Фрактальные круги в многоугольниках (литературная математика)

Август 12, 2022

Главная
Математика
Фрактальные круги в многоугольниках (литературная математика)

Содержание

2. Лев Николаевич Толстой КАКАЯ БЫВАЕТ РОСА НА ТРАВЕ (Описание) Когда в солнечное утро летом пойдешь в
3. Начало исследования Поиск треугольников Почему именно треугольники увидел Л.Н.Толстой на листочках с росой?
4. Любой многоугольник может быть составлен из треугольников
5. Конденсат на полиэтиленовой плёнке – появление проблемного вопроса Содержательная формулировка задачи: как соотносятся по размерам круги,
6. Формальная постановка первой задачи. Задача 1. Правильный треугольник с фрактальными кругами. Вычислить отношение площадей вписанных в
7. Последовательность площадей фрактальных кругов В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой, поэтому
8. Выводы по Задаче 1. 1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь правильного треугольника почти на
9. Метод индукции - от частного к общему Метод дедукции - от общего к частному От литературы
10. Лемма 1. Коэффициент подобия окружностей, вписанных в угол Метод индукции (от частного к общему) в математике
11. Формальная постановка второй задачи Задача 2. Квадрат с фрактальными кругами. Вычислить отношение площадей вписанных в квадрат
12. Выводы по Задаче 2. 1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь квадрата почти на 83%,
13. Метод дедукции (от общего к частному) в математике применяется чаще метода индукции (от частного к общему)
14. Коэффициент подобия между двумя соседними фрактальными вписанными окружностями в правильном n-угольнике Последовательность площадей фрактальных кругов В
15. Суммирование площадей фрактальных кругов Результат решения Задачи 3 Задача 3 решена
16. Частная проверка полученного общего результата Л.Н.Толстой видел треугольные листочки
17. Выводы 1. На рисунках показаны схемы расположения фрактальных кругов в правильных многоугольниках. 2. Получена общая формула
18. Практическое применение (перспектива) Распылитель жидкости (краски) Структуры новых материалов Математика фракталов Научное признание Лёд Перспектива: от
19. Литературный вывод – ответ на главный вопрос исследования Почему именно треугольники увидел Л.Н.Толстой на листочках с
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Лев Николаевич Толстой
КАКАЯ БЫВАЕТ РОСА НА ТРАВЕ (Описание)
Когда в солнечное утро летом

пойдешь в лес, то на полях, в траве видны алмазы. Все алмазы эти блестят и переливаются на солнце разными цветами — и желтым, и красным, и синим. Когда подойдешь ближе и разглядишь, что это такое, то увидишь, что это капли росы собрались в треугольных листах травы и блестят на солнце.
Листок этой травы внутри мохнат и пушист, как бархат. И капли катаются по листку и не мочат его.
Когда неосторожно сорвешь листок с росинкой, то капелька скатится, как шарик светлый, и не увидишь, как проскользнет мимо стебля. Бывало, сорвешь такую чашечку, потихоньку поднесешь ко рту и выпьешь росинку, и росинка эта вкуснее всякого напитка кажется.

Ссылка на фотографию: https://um.mos.ru/personalities/tolstoy-l-n/

1. Начальная школа.
2. Проблемный рассказ для подготовки к ЕГЭ по русскому языку после 11 класса.

От литературы к физике, от физики к математике

Слайд 3

Начало исследования
Поиск треугольников
Почему именно треугольники увидел Л.Н.Толстой на листочках с росой?

Слайд 4

Любой многоугольник может быть составлен из треугольников

Слайд 5

Конденсат на полиэтиленовой плёнке – появление проблемного вопроса
Содержательная формулировка задачи: как

соотносятся по размерам круги, вписанные в различные многоугольники?

Слайд 6

Формальная постановка первой задачи.
Задача 1. Правильный треугольник с фрактальными кругами.
Вычислить отношение

площадей вписанных в правильный треугольник фрактальных кругов к площади треугольника.

Коэффициент подобия при одном фрактальном переходе:

Слайд 7

Последовательность площадей фрактальных кругов
В этой последовательности первый член обособлен и

не описывается общей формулой, поэтому

Задача 1 решена

Слайд 8

Выводы по Задаче 1.
1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь

правильного треугольника почти на 83%.
2. Фрактальный круг первого уровня занимает часть площади более 60%, а на остальные фрактальные круги приходится около 23% площади треугольника.
3. Три фрактальных круга второго уровня занимают в три раза меньшую площадь, чем фрактальный круг первого уровня, то есть приблизительно 20% площади треугольника.
4. Три фрактальных круга третьего уровня занимают в девять раз меньшую площадь, чем фрактальные круги второго уровня, то есть приблизительно 2,2%, а фрактальные круги четвёртого уровня занимают площадь в 9 раз меньше, чем круги третьего уровня, то есть приблизительно 0,25% площади треугольника. Для фрактальных кругов пятого уровня доля площади треугольника составит приблизительно 0,03%.
5. Площадь фрактальных кругов, начиная с третьего уровня, убывает по геометрической прогрессии со знаменателем 1/9, поэтому общая площадь фрактальных фигур существует и выражается сходящимся рядом геометрической прогрессии.

Слайд 9

Метод индукции - от частного к общему
Метод дедукции - от общего

к частному

От литературы к физике,
от физики к математике

От математики к физике и литературе,
математическое объяснение явлений

Слайд 10

Лемма 1.
Коэффициент подобия окружностей, вписанных в угол
Метод индукции (от частного к

общему) в математике применяется реже метода дедукции (от общего к частному)

Обоснование метода – математическая задача появилась из физики

Пример-проверка: для угла 60 градусов
(Задача 1)

Слайд 11

Формальная постановка второй задачи
Задача 2. Квадрат с фрактальными кругами.
Вычислить отношение площадей

вписанных в квадрат фрактальных кругов к площади квадрата.

Последовательность площадей фрактальных кругов

В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой

Результат решения задачи 2

Задача 2 решена

Слайд 12

Выводы по Задаче 2.
1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь

квадрата почти на 83%, больше по сравнению с правильным треугольником.
2. Фрактальный круг первого уровня занимает часть площади квадрата более 78%, а на остальные фрактальные круги приходится около 5% площади треугольника. Напомним, что в правильном треугольнике первый фрактальный круг занимал 60% площади треугольника, а на остальные фрактальные круги приходилось 23% площади треугольника.
Получилось, что в квадрате очень мало площади приходится на фрактальные круги второго и более высокого уровней, для них «просто нет места», тогда как в правильном треугольнике такое место для фрактальных кругов второго уровня было.

Л.Н.Толстой увидел треугольники, но не рассмотрел квадратов

Слайд 13

Метод дедукции (от общего к частному) в математике применяется чаще метода

индукции (от частного к общему)

Обоснование метода – физическая задача стала чисто математической

Задача 3. Правильный n-угольник с фрактальными кругами.
Вычислить отношение площадей вписанных в правильный n-угольник фрактальных кругов к площади правильного n-угольника.

Частные случаи (индукционная проверка):

Лемма 1.
Коэффициент подобия окружностей, вписанных в угол

Слайд 14

Коэффициент подобия между двумя соседними фрактальными вписанными окружностями в правильном n-угольнике
Последовательность

площадей фрактальных кругов

В этой последовательности первый член обособлен и не описывается общей формулой

Слайд 15

Суммирование площадей фрактальных кругов
Результат решения Задачи 3
Задача 3 решена

Слайд 16

Частная проверка полученного общего результата
Л.Н.Толстой видел треугольные листочки

Слайд 17

Выводы
1. На рисунках показаны схемы расположения фрактальных кругов в правильных многоугольниках.
2.

Получена общая формула отношения площади кругов, как сходящейся геометрической прогрессии, к площади правильного многоугольника.
3. Фрактальные круги в правильных треугольниках наиболее часто и в основном встречаются в природе из-за наиболее медленного убывания геометрической прогрессии, а потому медленного роста в них давления от поверхностного натяжения.

Слайд 18

Практическое применение
(перспектива)
Распылитель жидкости (краски)
Структуры новых материалов
Математика
фракталов
Научное признание
Лёд
Перспектива: от фрактальной конденсации к

фрактальной кристаллизации

Слайд 19

Литературный вывод – ответ на главный вопрос исследования
Почему именно треугольники увидел

Л.Н.Толстой на листочках с росой?

Получен математический ответ на литературный вопрос

1. Круги заполнят площадь треугольного листика на 83%.
2. Фрактальный круг первого уровня занимает часть площади листочка более 60%, а на остальные фрактальные круги приходится около 23% площади треугольника.
3. Три фрактальных круга второго уровня занимают в три раза меньшую площадь, чем фрактальный круг первого уровня, то есть приблизительно 20% площади треугольника.

Другие круги маленькие, не видны!

Фрактальные круги в многоугольниках (литературная математика)

Содержание

Лев Николаевич ТолстойКАКАЯ БЫВАЕТ РОСА НА ТРАВЕ (Описание)Когда в солнечное утро летом

Начало исследованияПоиск треугольниковПочему именно треугольники увидел Л.Н.Толстой на листочках с росой?

Любой многоугольник может быть составлен из треугольников

Конденсат на полиэтиленовой плёнке – появление проблемного вопросаСодержательная формулировка задачи: как

Формальная постановка первой задачи.Задача 1. Правильный треугольник с фрактальными кругами.Вычислить отношение

Последовательность площадей фрактальных кругов В этой последовательности первый член обособлен и

Выводы по Задаче 1.1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь

Метод индукции - от частного к общемуМетод дедукции - от общего

Лемма 1.Коэффициент подобия окружностей, вписанных в уголМетод индукции (от частного к

Формальная постановка второй задачиЗадача 2. Квадрат с фрактальными кругами.Вычислить отношение площадей

Выводы по Задаче 2.1. При заданном фрактальном дроблении круги заполнят площадь