Функции и их свойства. Предел последовательности и функции. Производная функции и дифференциал

График четной функции симметричен относительно оси

а нечетной − относительно точки

Кратко определение предела можно записать так:

Геометрический смысл определения предела последовательности:

Неравенство

равносильно неравенствам

или

т.е.

Поэтому

Предел функции в точке. Бесконечно большая и бесконечно малая функция.

А если условия этой теоремы не выполнены, то могут возникнуть

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Производные основных элементарных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Найдем соответствующее приращение функции:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент

СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой

Нахождение производной называют дифференцированием

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u) и u = φ(x) ,

ПРИМЕР

Вычислить производную функции

ПРИМЕР:

Вычислить производную функции:

Данную функцию можно представить следующим образом:

Коротко:

k = f ′(xo) = tg α –
это угловой коэффициент

Общий вид уравнения касательной

y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo)

Алгоритм

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ:
Выделить функцию y=f(x).
Найти область определения функции D(f).

Решите неравенство:
1. 2x+5≠0, х ≠-2,5
2. f(x)=0, если
x1= 8, x2=

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ПРОМЕЖУТКОВ ВОЗРАСТАНИЯ (УБЫВАНИЯ) ФУНКЦИИ y=f(x):

Найти производную функции f´(x).
Решить

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1.
2. f´(x)=0, если
3.
Ответ:

f′(x)

xo

Минимум функции

Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая

xo

Максимум функции

Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая

Алгоритм исследования функции на монотонность

1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о Находим критические точки

Алгоритм исследования функции на экстремумы

1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о Находим критические точки

ПРИМЕРЫ