Геометрический смысл производной

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Геометрический смысл производной

Содержание

2. Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь на результатах Ферма и
3. y=kx k = x y = противолежащий катет прилежащий катет = tg a a y x
4. k = tg a k – угловой коэффициент прямой а –угол между прямой и положительным направлением
5. y=f(x) a x y x M B C A x+∆х f(x) f(x+∆х) f(x+∆х) – f(x) ∆х
6. y=f(x) a x y x M B C A x+∆х f(x) f(x+∆х) f(x+∆х) – f(x) ∆х
7. f(x+∆х) – f(x) ∆х = lim k = f ' (x) k = tg a f
8. tga tga = 0 k > 0 f'(x ) > 0 f'(x ) f'(x ) =
9. Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х0; f(x0))
10. y=kx +b k = tg a f ' (x) = y=f' (x0 )x+ b Т.к. касательная
11. Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 f(x0) – находим
12. Решаем задачи № 857-861 (только нечетные)
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь

на результатах Ферма и некоторых других выводах, значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

1646г – 1716г

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Слайд 3

y=kx
k =
x
y
=
противолежащий катет
прилежащий катет
=
tg a
a
y
x
y
x
o
a
y=kx+b

Слайд 4

k =
tg a
k – угловой коэффициент прямой
а –угол между прямой

и положительным направлением оси абсцисс

a

x

o

a

y

y=kx+b

y=kx+b

k 0

>

k 0

<

функция возрастает

функция убывает

Слайд 5

y=f(x)
a
x
y
x
M
B
C
A
x+∆х
f(x)
f(x+∆х)
f(x+∆х) – f(x)
∆х
k = tg MAC =
MC
AC
=
f(x+∆х) – f(x)
∆х

a

o

Слайд 6

y=f(x)
a
x
y
x
M
B
C
A
x+∆х
f(x)
f(x+∆х)
f(x+∆х) – f(x)
∆х
Если ∆х
0, тогда М
А
Прямая MA стремиться занять

положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции

y=f(x)

Слайд 7

f(x+∆х) – f(x)
∆х
=
lim k =
f ' (x)
k =
tg

a

f ' (x)

=

∆х

0

Значение производной в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

lim

∆х

0

Слайд 8

tga < 0
tga = 0
k > 0
f'(x ) > 0
f'(x )

< 0

f'(x ) = 0

прямая возрастает

прямая убывает

прямая параллельна ОХ α=0⁰

прямая постоянная

k < 0

k = 0

tga > 0

k =

tg a

f ' (x)

=

f'(x ) = 0

α - острый

α - тупой

f'(x ) > 0

f'(x ) < 0

Слайд 9

Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х0; f(x0))

Слайд 10

y=kx +b
k =
tg a
f ' (x)
=
y=f' (x0 )x+ b
Т.к.

касательная проходит через точку с координатами
(х0; f(x0)) , подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b

(1)

(2)

f(x0)=f' (x0 )x0+ b

b =f(x0) – f' (x0 )x0

Подставьте в уравнение (2) значение b и сделав соответствующие преобразования получите:

у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)

Слайд 11

Алгоритм
нахождения уравнения касательной
к графику функции y=f(x)
в точке с

абсциссой х0

f(x0) – находим значение функции в данной точке
f '(x) – находим производную данной функции
f'(x0) - находим значение производной функции в данной точке
Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции

у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)

Слайд 12

Решаем задачи № 857-861 (только нечетные)

Слайд 13