Геометрический смысл определенного интеграла

Июль 23, 2022

Главная
Математика
Геометрический смысл определенного интеграла

Содержание

2. Содержание Интеграл и площадь (основные формулы) Вычисление площадей (легкие случаи) Задача 1 (использование симметрии) Задача 2
3. Интеграл и площадь 0 х у а b f(x) Если f(x)> 0 на [a;b], то Sфигуры
4. График функции ниже оси абсцисс 0 х у а b f(x) Если f(x) Sф= -
5. График одной функции выше графика другой функции 0 х у а b f(x) Если f(x) >
6. Формула Ньютона - Лейбница F(x) – одна из первообразных для f(x)
7. Вычисление площадей 0 у х 1 3 2 6
8. 0 x π -π 1 -1 y
9. 0 x π -π 1 -1 y
10. 0 x π -π 1 -1 y
11. 0 x π -π 1 -1 y Sфигуры Sфигуры
12. Задача 1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у=4. у х 0 4 -2 2
13. Задача 1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у=4. у х 0 4 -2 2
14. у х 0 4 -2 2 Sфигуры у=х2 S1 B A D C S1 1) SABCD
15. Задача 1 Найти площадь фигуры,ограниченной линиями у=х2 и у=4. у х 0 4 -2 2 Sфигуры
16. Задача 1 Найти площадь фигуры,ограниченной линиями у=х2 и у=4. у х 0 4 -2 2 Sфигуры
17. Задача 1 у х 0 4 -2 2 Sфигуры Второй способ Более простые вычисления:
18. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
19. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
20. Задача 2
21. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
22. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
23. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
24. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
25. Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х2 + 16х + 19, у=0, х=-3, х=-1. х
26. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
27. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
28. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
29. Задача 3
30. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
31. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
32. Задача 3 у х 0 3 Sфигуры 1 4 2 3 S1 S1 А В С
33. Задача 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2 + 4х, у=3, у=0. у х 0 3
34. Использование площадей для вычисления определенного интеграла 1) На рисунке дан график функции f(x). Найдите значение х
35. Использование площадей для вычисления определенного интеграла 1) На рисунке дан график функции f(x). Найдите значение х
36. Использование площадей для вычисления определенного интеграла х у 0 3 2 1 -1 f(x) 2 3
37. 0 x π -π 1 y S1 S2 S3
38. Использование площадей для вычисления определенного интеграла 0 Пусть Тогда у2 = 4 – х2, причем у
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
Интеграл и площадь (основные формулы)
Вычисление площадей (легкие случаи)
Задача 1 (использование

симметрии)
Задача 2 (новая система координат)
Задача 3 (более трудный случай)
Площадь как способ вычисления интеграла

Слайд 3

Интеграл и площадь
0
х
у
а
b
f(x)
Если f(x)> 0 на [a;b], то
Sфигуры
Sф=

Слайд 4

График функции ниже оси абсцисс
0
х
у
а
b
f(x)
Если f(x)<0 на [a;b], то
Sф= -

Слайд 5

График одной функции выше графика другой функции
0
х
у
а
b
f(x)
Если f(x) >

g(x) на [a;b]
(кроме точек пересечения), то

Sф=

g(x)

Слайд 6

Формула Ньютона - Лейбница
F(x) – одна из первообразных для f(x)

Слайд 7

Вычисление площадей
0
у
х
1
3
2
6

Слайд 8

0
x
π
-π
1
-1
y

Слайд 9

0
x
π
-π
1
-1
y

Слайд 10

0
x
π
-π
1
-1
y

Слайд 11

0
x
π
-π
1
-1
y

Sфигуры
Sфигуры

Слайд 12

Задача 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у=4.
у
х
0
4
-2
2
Sфигуры
у=х2

Слайд 13

Задача 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у=4.
у
х
0
4
-2
2
Первый способ
Sфигуры
у=х2
Sф =

SABCD - 2S1 =
= SABCD - 2

S1

B

A

D

C

S1

Слайд 14

у
х
0
4
-2
2
Sфигуры
у=х2
S1
B
A
D
C
S1
1) SABCD = 42=16
2)
3) SФ = 16 - 2∙ =16

- 5⅓ =
= 10

Sф = SABCD - 2

Слайд 15

Задача 1
Найти площадь фигуры,ограниченной линиями у=х2 и у=4.
у
х
0
4
-2
2
Sфигуры
Второй способ
Замечаем, что

график у=4
выше графика у=х2 на [-2;2]
(кроме точек пересечения).
Тогда:

Слайд 16

Задача 1
Найти площадь фигуры,ограниченной линиями у=х2 и у=4.
у
х
0
4
-2
2
Sфигуры

Слайд 17

Задача 1
у
х
0
4
-2
2
Sфигуры
Второй способ
Более простые вычисления:

Слайд 18

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-2

-1

-3

3

Sфигуры

Слайд 19

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-1

-3

3

Sфигуры

Первый способ

-2

Слайд 20

Задача 2

Слайд 21

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-2

-1

-3

3

Второй способ

S1

S1

Sф = Sпрямоуг. + 2S1

Слайд 22

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-2

-1

-3

3

Второй способ

S1

S1

Sф = Sпрямоуг. + 2S1

Sпрямоуг. = 6
S1 - ?

Слайд 23

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-2

-1

-3

3

Второй способ

S1

Sф = Sпрямоуг. + 2S1

Sпрямоуг. = 6
S1 - ?

х`

y`

Слайд 24

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-1

-3

3

Второй способ

S1

Sф = Sпрямоуг. + 2S1

Sпрямоуг. = 6

х`

y`

-2

Слайд 25

Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=4х2 + 16х + 19,

у=0, х=-3, х=-1.

х

у

0

-2

-1

-3

3

Второй способ

S1

Sф = Sпрямоуг. + 2S1

Sпрямоуг. = 6

х`

y`

Sф = 6 +

Слайд 26

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

Sфигуры

1

4

2

3

Слайд 27

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

Sфигуры

1

4

2

3

Первый способ

S0

Слайд 28

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

1

4

2

3

Первый способ

S0

Слайд 29

Задача 3

Слайд 30

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

Sфигуры

1

4

2

3

Второй способ

Sф = SОАВС - 2S1

S1

S1

А

В

С

SОАВС = 12
S1 - ?

Слайд 31

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

Sфигуры

1

4

2

3

S1

S1

А

В

С

S1 - ?

1

S1

0

х`

y`

y=x2+2x

-1

х`

y`

Слайд 32

Задача 3
у
х
0
3
Sфигуры
1
4
2
3
S1
S1
А
В
С
1
S1
0
х`
y`
y=x2+2x
-1

Слайд 33

Задача 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=-х2 + 4х, у=3,

у=0.

у

х

0

3

Sфигуры

1

4

2

3

Второй способ

Sф = SОАВС - 2S1

S1

S1

А

В

С

SОАВС = 12

Слайд 34

Использование площадей для вычисления определенного интеграла
1) На рисунке дан
график функции

f(x).
Найдите значение

х

у

0

3

2

1

-1

f(x)

2

3

4

Слайд 35

Использование площадей для вычисления определенного интеграла
1) На рисунке дан
график функции

f(x).
Найдите значение

х

у

0

3

2

1

-1

Sф и г у р ы

f(x)

2

3

4

Слайд 36

Использование площадей для вычисления определенного интеграла
х
у
0
3
2
1
-1
f(x)
2
3
4
В
N
А
С
D
M
H
Sф = SABCD + S MNC

=
= 8 + 2 = 10

Слайд 37

0
x
π
-π
1
y

S1
S2
S3

Слайд 38

Использование площадей для вычисления определенного интеграла
0
Пусть
Тогда у2 = 4 –

х2, причем у ≥ 0.
Получаем: х2 + у2 = 4 – это окружность
с центром (0; 0) и радиусом 2. Но у ≥ 0!
Значит, берем только ту часть окружности,
которая выше оси Ох, т.е. полуокружность.
Нам нужно подсчитать площадь полукруга!