Несобственные интегралы. Функции нескольких переменных: область определения, линии уровня, частные производные

В определении
предполагается, что - конечные числа, а - непрерывная функция.
Если хотя

Мы рассмотрим интегралы по бесконечному промежутку или несобственные интегралы 1-ого рода:

Если

Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что

Пример.

следовательно сходится.

На практике при вычислении несобственных интегралов можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница

сходится,

Теорема.

расходится.

Пример. Площадь прямоугольника со сторонами находится по формуле

Функция двух переменных

Эта формула

Примеры. 1) Эта функция определена, если Изобразим это множество на плоскости:

2)

Нарисуем границу области Это парабола.

Парабола делит область на две части. Достаточно взять одну точку, например

Графиком функции двух переменных является поверхность.

График функции двух переменных

Примеры.
1) - полусфера

2) - параболоид.

Построение графиков функций двух переменных представляет значительные трудности. Поэтому существует еще

Назовем линией уровня множество точек плоскости где - число. Термин «линии

Пример. Построить линии уровня функции

Линии уровня определяются уравнением
Давая различные

(радиус )

Рассмотрим функцию Зафиксируем одну переменную, например, Пусть Тогда получится функция одной

Пример.

1) Найти и если

Функция имеет четыре частные производные второго порядка.

Частные производные 2-ого порядка

и

Теорема.
Смешанные производные и равны между собой при условии их непрерывности:

Пример.

1) Найти частные производные второго порядка функции

Мы видим, что

Пусть Полный дифференциал

Полный дифференциал функции

Пример. Найти

Пусть причем
Тогда есть сложная функция одной переменной

Дифференцирование сложных функций

Рассмотрим теперь функцию при условии, что Здесь переменная есть функция одной

Но

- частная производная, которая
находится так, как если бы не зависел

- производная сложной функции одной переменной. Эту производную называют полной

где
Найти и

Примеры.

1)
Затем вместо подставим Получим

Ответ:

2)