Геометричні перетворення

даної фігури.

Дві фігури називаються рівними,
якщо вони суміщаються переміщенням

Властивості переміщення:
два послідовні переміщення знову дають переміщення;
перетворення, обернене до переміщення також є переміщення;
внаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається;
при переміщенні прямі переходять у прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки;
внаслідок переміщення зберігаються кути між променями.

називається таке перетворення фігури F у фігуру F/ , внаслідок якого кожна точка Х
фігури F переходить у точку Х/ фігури F/ так, що промені ХХ/ і ОА співнапрямлені
і ХХ/ =а

О

А

Х

Х/

Основна властивість паралельного перенесення:
паралельне перенесення є переміщенням

У прямокутній системі координат паралельне перенесення,
яке переводить точку (х;у) в точку (х1; у1), задається формулами
х1=х+а; у1=у+b,
де a і b – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

паралельне перенесення, яке переводить точку (х;у) в точку (х1; у1), задається формулами х1=х+а; у1=у+b,
де a і b – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F/;
2)кожній точці фігури F/ відповідає деяка точка фігури F;
3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F/.
Фігура F/ називається образом фігури F для даного перетворення.

А

А1

В

Х

Х1

В1

О

А

В

А1

В1

Х

Х1

промінь переходить у співнапрямлений промінь.
При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих
(або однієї прямої) на ту саму відстань

F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить
у точку Х1фігури F1 , симетричну Х відносно прямої m.

Основна властивість осьової симетрії:
Осьова симетрія є переміщенням

на
рівний йому многокутник.
Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе.

А1

А

В

В1

Основна властивість осьової симетрії:
Осьова симетрія є переміщенням

С

Точки А і А1 називають симетричними відносно прямої m,
якщо пряма m є серединним перпендикуляром відрізка АА1.

себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F.

Скільки осей симетрії має коло?

Скільки осей симетрії має прямокутник?

себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F.

Скільки осей симетрії має ромб?

Скільки осей симетрії має квадрат?

себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F.

Скільки осей симетрії має рівнобедрений трикутник?

Скільки осей симетрії має рівносторонній трикутник?

О
є серединою відрізка АА1.

Основна властивість осьової симетрії:
Осьова симетрія є переміщенням

А

А1

O

Перетворенням симетрії (центральною симетрією) відносно точки О називається
таке перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F
переходить у точку Х1фігури F1 , симетричну Х відносно точки О.

В

В1

Р

ж саму пряму;
відрізок - на відрізок; многокутник на рівний йому многокутник.

А1

А

В

В1

О

фігури
точка, симетрична їй відносно точки О, також належить цій фігурі.

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то така
фігура називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії фігури F.

Центр кола є його центром симетрії

Р

Точка перетину діагоналей паралелограма
є його центром симетрії

О

фігури F
у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1фігури F1
так, що ОХ1 =ОХ і ∠ХОХ1 =α.

Точку О називають центром повороту, а кут α – кутом повороту.

Основна властивість повороту: поворот є переміщенням.
Тобто якщо фігура F1 – образ фігури F при повороті, то F = F1

O

F

F1

X

X1

α

себе,
то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання).

Правильний шестикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні 600

Правильний трикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні 1200

600

1200

себе,
то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання).

Фігура, що має дві осі симетрії, переходить у себе при поворотах на кути кратні 900

Фігура переходить сама в себе при поворотах на кути кратні 450

450

900

, внаслідок якого відстані між точками змінюються в тому самому
відношенні k (k>0). Число k>0 називають коефіцієнтом подібності.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну
перетворенням подібності.

F1 ,
внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1 так, що
точка Х1 лежить на промені ОХ і OX1=kOX ( k – фіксоване додатне число).
Відстані між точками змінюються в тому самому відношенні k (k>0).
Число k>0 називають коефіцієнтом гомотетії, а самі фігури F і F1– гомотетичними

O

Х

Х1

F

F1

Основна властивість гомотетії: гомотетія є перетворенням подібності.

трикутник, подібний даному;
площа многокутника змінюється в k2 разів, де k – коефіцієнт гомотетії.

O

Х

Х1

A

A1

B

B1