ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ §1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. Множества А и В называются равномощными (обозначим:

Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.
Доказательство.
Необходимо проверить три условия:

Рефлексивность выполняется, так как отображение
IA: A A осуществляет биекцию множества

Транзитивность. Пусть , ,
то есть существуют биекции
и
Тогда

Примеры.1)       Докажем, что
то есть докажем, что любые два интервала равномощны,

2)       , то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом деле,

Определение 3.
Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных

Теорема 4. Любое подмножество счетного множества или конечно или счетно (т.е.

Доказательство.
Пусть А – счетное множество и В А. Перенумеруем все

Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то В является