Игровые модели. Классификация игр. Теория игр

9.1 Классификация игр. Антагонистические игры.

Таким образом, в игровых задачах всегда известен набор стратегий (вариантов решений),

Кроме игр с нулевой и ненулевой суммой в которых участвуют не

Пусть имеются два игрока - А и B, каждый из которых

9.2 Биматричные игры

Биматричные игры – это игры с ненулевой суммой общего выигрыша, происходящие

В зависимости от того, разрешено или запрещено сотрудничество игроков, биматричные игры

В некооперативной игре при выборе стратегии игроки руководствуются принципом максимальной осторожности.

Рассмотрим в качестве примера некооперативной игры задачу «Дилемма заключенных». Двое преступников

Согласно принципу максимальной осторожности в некооперативной игре оба игрока должны сознаться.

Выбранные стратегии игроков образуют равновесие Нэша, если ни одному из игроков

Пример. Рассмотрим в качестве примера игру «студент-преподаватель». Студент (игрок A) готовиться

Решение. Во-первых, рассмотрим действия игроков, продиктованные принципом максимальной осторожности, т.е. поместим

Отметим, что поскольку верхняя и нижняя цена игры для матрицы выигрышей

Легко проверить, что равновесие по Нэшу в этой задаче обеспечивают наборы

В кооперативных играх игрокам разрешено договариваться друг с другом. Вместе с

В кооперативной задаче о заключенных переговорное множество образуют решения (-8, -8)

Если переговорное множество состоит из парето-оптимальных решений (доминирующих решений нет) и

На рисунке T1 и T2 - точки гарантированного минимального выигрыша для

В теории игр доказано, что если множество возможных выигрышей выпукло, замкнуто

Принцип Нэша можно применить и для решения  биматричных игр. Просто здесь 

Чтобы найти решение, максимизирующее функцию Нэша f(x,y)=max(x-4)(y-4), выразим y через x,

В данной игре кооперация будет выгодна обоим игрокам только при условии,

В общем случае, решение биматричной игры может основываться на различных критериях,

9.3 Игры с природой

9.4 Позиционные игры

В отличие от рассмотренных ранее игр позиционная игра моделирует процесс последовательного

Кружками изображаются положения, в которых игроком выбирается ход, отрезками – возможные

Дерево игры всегда имеет начальную вершину (описывающую первый ход в игре)

Нормальная форма позиционной игры
Все игры, которые мы рассматривали ранее, были представлены

Пример. Пусть имеется два игрока, причем у каждого есть всего две

В рассмотренном примере мы построили нормальную форму для антагонистической игры с

Двухходовая позиционная игра с неполной информацией.
Используя данные рассмотренного примера, попробуем построить

Как уже говорилось, все позиционные игры можно разделить на игры с

Пунктиром на этом рисунке выделены информационные множества игроков A и B.

Очевидно , что игрок А, совершая ход, может выбрать одну из

Двухходовая позиционная игра с полной информацией.
Рассмотрим вариант, когда игрок B принимает

Игрок A по-прежнему имеет те же две стратегии
{A1: x=1, A2:

Так, стратегия [1, 1] означает, что независимо от хода игрока A

Результирующую матрицу выплат можно представить в следующем виде:
С учетом конкретных значений

В теории игр доказывается следующее утверждение:
Любая позиционная игра с полной информацией

Позиционная игра в три хода с полной информацией.
Рассмотрим вариант игры с

Обозначим переменными x и z выбор игрока A на первом и

Рассмотрим сначала возможные действия игрока B. С точки зрения его возможных

Платежная матрица трехходовой позиционной игры с полной информацией. Если подставить в нее

Позиционная игра в три хода с неполной информацией.
Пусть в описанной выше

Вариант 2. Пусть игрок A на третьем этапе игры по-прежнему не

Вариант 3. Пусть игрок A на третьем этапе игры знает, какую

Позиционная игра в три хода с неполной информацией и случайным выбором

Если учесть вероятности выбора альтернатив на первом ходу (p1=0.5 и p2=0.5),