Интегрирование иррациональностей. (Семинар 15)

лишь линейную иррациональность

, то применяется подстановка

2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности

этот интеграл с помощью дополнения выражения

до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов

Рассмотрим эти интегралы:

a)

Применим подстановку Эйлера

где t –новая переменная.

отсюда

b)

3. Интеграл от иррациональности

Заменой

он сводится к интегралу вида 2)

выделив в числителе производную подкоренного выражения; тогда один интеграл вычисляется как интеграл от степенной функции, а второй является интегралом вида 2)

5. Иррациональность вида

.Выделяем полный квадрат, а затем

полученный интеграл

вычисляем по методу – интегрирование

по частям.

Замечание

a)

b)

При вычислении можно использовать гиперболические

функции x=sht, dx=cht (можно x=tgt, но более громоздко).

6. Иррациональность вида

, (1) где R – рациональная функция относительно

переменной интегрирования x и различных радикалов из x. Обозначим через n – наименьшее кратное всех показателей k,m,… Тогда

Интеграл вида

вычисляется с помощью

замены

Биноминальный дифференциал – это выражение вида

, где

Теорема Чебышева

Интеграл

(1) может быть выражен в элементарных функциях

только в следующих трех случаях:

1) p – целое число. Тогда выражение

развертывается по формуле

, которые легко интегрируются.

бинома Ньютона и подынтегральная функция после раскрытия скобок будет суммой элементов вида

2) целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от

рациональной функции подстановкой

, где r – знаменатель дроби p

3) целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от

рациональной функции подстановкой

, где r – знаменатель

дроби p.

заметим, что если степень m числителя P(x) больше или равна степени n знаменателя Q(x), то разделив многочлен P(x) на многочлен Q(x), получим в частном некоторый многочлен N(x) и в остатке многочлен не выше степени (n-1).

Следовательно

Для N(x) – обычное интегрирование.

Дробь

- правильная дробь.

Многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами:

, где

- к-кратный корень уравнения Q(x)=0, а квадратное уравнение

которые служат t-кратными сопряженными корнями уравнения Q(x)=0

Общая формула разложения дроби следующая:

простейших рациональных дробей, которые находятся достаточно легко.

Примеры с решениями

1)

2)

3)

4)

замена

. Тогда

=

=

5)

Получаем систему

C=-2

Имеем тождество

, тогда

6)

Разлагаем дробь на простейшие дроби:

Коэффициенты A,B,C,D находим из тождества

Подставляя последовательно x=0, x=1, x=-1, x=2 получим систему:

следовательно

=