Интегрирование уравнений движения ЭЭС

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Интегрирование уравнений движения ЭЭС

Содержание

2. Численное интегрирование дифференциальных уравнений Большинство (систем) дифференциальных уравнений, которые описывают реальные технические системы, не могут быть
3. Метод Эйлера Рассмотрим дифференциальное уравнение: y’=dy/dt=f(y,t) с начальным условием y(t0)=y0. Тогда значение производной в начальной точке
4. Метод Эйлера Схема интегрирования метода Эйлера: yi+1=yi+f(yi,ti)*h, где h – шаг интегрирования. В чем недостаток? Схема
5. Метод Эйлера
6. Метод Эйлера. Устойчивость. Уравнение y’=-2.3*y, y(t0)=1. Точное решение y(t)=exp(-2.3t), решение стремится к нулю в бесконечности. Точки
7. Модифицированный метод Эйлера с пересчетом Сначала, используя классический метод Эйлера, находят грубое (прогнозное) значение: yi+1=yi+f(yi,ti)*h. Далее
8. Модифицированный метод Эйлера Модифицированный метод Эйлера, он же метод трапеций, он же один из разновидностей predictor-corrector
9. Сравнение классического и модифицированного методов Эйлера
10. Вернемся к уравнениям динамики ЭЭС Уравнения динамики ЭЭС – алгебро-дифференциальные уравнения. Почему?
11. Уравнения динамики ЭЭС Если пренебречь переходными (электромагнитными) процессами в обмотках статора синхронной машины, то статор можно
12. Запись уравнений движения ЭЭС y – переменные состояния, f(x,y) – дифференциальные уравнения пространства состояний. x –
13. Взаимодействие дифференциальных и алгебраических уравнений. Переменные состояния y, в том числе, включают набор переменных E, которые
14. Взаимодействие дифференциальных и алгебраических уравнений.
15. Решение системы ДАУ ЭЭС Все большинство схем решения ДАУ характеризуется следующими основными свойствами: способ взаимодействия ДУ
16. Решение системы ДАУ ЭЭС Раздельное решение систем АУ и ДУ – наиболее распространенный способ. Дифференциальные уравнения
17. Решение системы ДАУ ЭЭС Совместное решение систем АУ и ДУ – менее распространенный способ (по крайней
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Большинство (систем) дифференциальных уравнений, которые описывают реальные технические

системы, не могут быть решены аналитически. То есть, для них не может быть получено точное решение в виде некоторого аналитического выражения.
Таким образом, дифференциальные уравнения движения ЭЭС решают путем их численного интегрирования, то есть, вместо точного аналитического решения получают приближенное решение, используя тот или иной численный метод.

Слайд 3

Метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение: y’=dy/dt=f(y,t) с начальным условием y(t0)=y0. Тогда значение

производной в начальной точке y0 и t0 будет равно f(y0,t0).
При малом изменении dt можно заменить исходную производную на выражение в приращениях: dy/dt=∆y/∆t=(y1-y0)/(t1-t0)=f(y0,t0).
Введя обозначение t1-t0=h, можно записать: y1=y0+f(y0,t0)*h
yi+1=yi+f(yi,ti)*h – выражение для численного интегрирования метода Эйлера.

Слайд 4

Метод Эйлера
Схема интегрирования метода Эйлера: yi+1=yi+f(yi,ti)*h, где h – шаг интегрирования.
В

чем недостаток? Схема интегрирования метода Эйлера подразумевает, что значение производной остается постоянным в интервале шага интегрирования. То есть, исходная функция f(y,t) заменяется касательной. Подобное приближение допустимо лишь для очень небольших значений шага интегрирования, причем, чем больше шаг интегрирования, тем больше погрешность (отличие точного и приближенного решений).
Таким образом, устойчивость метода Эйлера (как и любого другого метода численного интегрирования) зависит от величины шага интегрирования!

Слайд 5

Метод Эйлера

Слайд 6

Метод Эйлера. Устойчивость.
Уравнение y’=-2.3*y, y(t0)=1.
Точное решение y(t)=exp(-2.3t), решение стремится к нулю

в бесконечности.
Точки численного решения методом Эйлера: синие – h=1; красные – h=0.7. При шаге h=1 метод не сходится к точному решению, стремясь в бесконечность.

Слайд 7

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом
Сначала, используя классический метод Эйлера, находят грубое

(прогнозное) значение: yi+1=yi+f(yi,ti)*h.
Далее выполняют пересчет, используя грубое значение yi+1: yi+1=yi+(f(yi,ti)+ f(yi+1,ti+1))/2*h.
Таким образом, значение производной НЕ остается постоянным в интервале шага интегрирования, а принимается равным среднему значению между исходной производной и производной, посчитанной исходя из величины прогнозного значения yi+1.

Слайд 8

Модифицированный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера, он же метод трапеций, он же

один из разновидностей predictor-corrector (метод с предсказанием), он же метод Рунге-Кутта второго порядка.

Слайд 9

Сравнение классического и модифицированного методов Эйлера

Слайд 10

Вернемся к уравнениям динамики ЭЭС
Уравнения динамики ЭЭС – алгебро-дифференциальные уравнения. Почему?

Слайд 11

Уравнения динамики ЭЭС
Если пренебречь переходными (электромагнитными) процессами в обмотках статора синхронной

машины, то статор можно представить в виде фиксированных реактансов (d и q компоненты).
Уравнения статора + уравнения сети – алгебраические уравнения. Уравнения машины – дифференциальные уравнения метода пространства состояний.

Слайд 12

Запись уравнений движения ЭЭС
y – переменные состояния, f(x,y) – дифференциальные уравнения

пространства состояний.
x – алгебраические переменные, g(x,y) – алгебраические уравнения сети.

Слайд 13

Взаимодействие дифференциальных и алгебраических уравнений.
Переменные состояния y, в том числе, включают

набор переменных E, которые участвуют как в дифференциальных, так и в алгебраических уравнениях. В частности, E включает переменные состояния E’d, E’q и δ (угол ротора).
Алгебраические переменные x, в том числе, включают набор переменных u, которые участвуют как в дифференциальных, так и в алгебраических уравнениях. В частности, u включает токи статора Isd, Isq, электрическую мощность Pe, отклонения напряжений ∆|V|.

Слайд 14

Взаимодействие дифференциальных и алгебраических уравнений.

Слайд 15

Решение системы ДАУ ЭЭС
Все большинство схем решения ДАУ характеризуется следующими основными

свойствами:
способ взаимодействия ДУ и АУ,
используемый метод интегрирования (Эйлер, Рунге-Кутта и т.п.),
способ решения АУ (Гаусс-Зейдель, Ньютон и т.п.).
Можно выделить следующие способы взаимодействия ДУ и АУ:
совместное решение ДУ и АУ,
раздельное решение ДУ и АУ.

Слайд 16

Решение системы ДАУ ЭЭС
Раздельное решение систем АУ и ДУ – наиболее

распространенный способ.
Дифференциальные уравнения интегрируются отдельно, алгебраические уравнения решаются отдельно, плюс имеется некоторый механизм взаимодействия АУ и ДУ.
В этом случае метод интегрирования ДУ и метод решения АУ могут быть выбраны независимо, подобный подход придает большую гибкость и простоту как с точки зрения программирования, так и с точки зрения анализа.

Слайд 17

Решение системы ДАУ ЭЭС
Совместное решение систем АУ и ДУ – менее

распространенный способ (по крайней мере, был).
Формируется общая система алгебраических уравнений с неизвестными y[n] и x[n].
В этом случае решение значения y[n] и x[n] ищутся совместно, т.е. отсутствует механизм взаимодействия АУ и ДУ, который является источником дополнительной ошибки, однако метод интегрирования ДУ и решения АУ не могут быть выбраны независимо.

Интегрирование уравнений движения ЭЭС

Содержание

Численное интегрирование дифференциальных уравненийБольшинство (систем) дифференциальных уравнений, которые описывают реальные технические

Метод ЭйлераРассмотрим дифференциальное уравнение: y’=dy/dt=f(y,t) с начальным условием y(t0)=y0. Тогда значение

Метод ЭйлераСхема интегрирования метода Эйлера: yi+1=yi+f(yi,ti)*h, где h – шаг интегрирования.В

Метод Эйлера

Метод Эйлера. Устойчивость.Уравнение y’=-2.3*y, y(t0)=1.Точное решение y(t)=exp(-2.3t), решение стремится к нулю

Модифицированный метод Эйлера с пересчетомСначала, используя классический метод Эйлера, находят грубое

Модифицированный метод ЭйлераМодифицированный метод Эйлера, он же метод трапеций, он же

Сравнение классического и модифицированного методов Эйлера

Вернемся к уравнениям динамики ЭЭСУравнения динамики ЭЭС – алгебро-дифференциальные уравнения. Почему?

Уравнения динамики ЭЭСЕсли пренебречь переходными (электромагнитными) процессами в обмотках статора синхронной

Запись уравнений движения ЭЭСy – переменные состояния, f(x,y) – дифференциальные уравнения

Взаимодействие дифференциальных и алгебраических уравнений.Переменные состояния y, в том числе, включают