Интеллектуальные информационные системы. Лекция 6. Нечеткая логика. Математические основы

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Интеллектуальные информационные системы. Лекция 6. Нечеткая логика. Математические основы

Содержание

2. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств
3. ? Для поддержки принятия решений в медицине и экономике. ? В автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности,
4. Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MFc(x) – степень принадлежности к нечеткому
5. Формализуем неточное определение 'горячий чай'. В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах
6. Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчетов,
7. В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения, объединения и дополнения, реализованный в
8. Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных. Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где
9. Каждая лингвистическая переменная состоит из: • Названия; • Множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством
10. Рассмотрим нечеткое понятие 'Цена акции'. Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество,
11. Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:
12. Для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d): При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный
13. Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности. При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.
14. Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой: и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества,
15. Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности. При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.
16. Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике.
17. На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'. Так, для человека 48 лет степень принадлежности
18. На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'. Так, для человека 48 лет степень принадлежности
19. Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме 'Если-то'
20. Пусть в базе правил имеется m правил вида: R1: ЕСЛИ x1 это A11 … И …
21. ? введение нечеткости (фазификация), ? нечеткий вывод, ? композиция, ? приведение к четкости, или дефазификация. Механизм
22. Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic)

являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики.
Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 году.
Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Введение

Слайд 3

? Для поддержки принятия решений в медицине и экономике.
? В автомобильной,

аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений.
? В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах (“Черный Понедельник” на Токийской бирже - знаменитая теорема FAT - Fuzzy Approximation Theorem).
? Количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

1. Применение нечетких экспертных систем

Слайд 4

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function).
Обозначим через MFc(x) –

степень принадлежности к нечеткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества.
Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MFc(x)/x}, MFc(x) ∈ [0,1].
Значение MFc(x)=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, а равное 1 – полную принадлежность.

2. Математический аппарат

Слайд 5

Формализуем неточное определение 'горячий чай'.
В качестве x (область рассуждений) будет выступать

шкала температуры в градусах Цельсия.
Очевидно, что она будет изменяется от 0 до 100 градусов.
Нечеткое множество для понятия 'горячий чай' может выглядеть следующим образом:
C={0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100}.
Чай с температурой 60°С принадлежит к множеству 'Горячий‘ со степенью принадлежности 0,80. Для одного человека чай при температуре 60°С может оказаться горячим, для другого – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Пример 1.

Слайд 6

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции.

Самыми основными, необходимыми для расчетов, являются пересечение и объединение.
Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "И"):
A ∩ B: MFAB(x)=min(MFA(x), MFB(x)).
Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"):
A ∪ B: MFAB(x)=max(MFA(x), MFB(x)).

Слайд 7

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения,

объединения и дополнения, реализованный в так называемых треугольных нормах и конормах.
Приведенные выше реализации операций пересечения и объединения – наиболее распространенные случаи t-нормы и t-конормы.

Слайд 8

Для описания нечетких множеств вводятся
понятия нечеткой и лингвистической переменных.
Нечеткая переменная описывается

набором (N,X,A), где N – это название переменной, X – универсальное множество (область рассуждений), A – нечеткое множество на X.
Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная.

Слайд 9

Каждая лингвистическая переменная состоит из:
• Названия;
• Множества своих значений, которое также

называется базовым терм-множеством T.
Элементы базового терм-множества представляют
собой названия нечетких переменных;
• Универсального множества X;
• Синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
• Семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.

Слайд 10

Рассмотрим нечеткое понятие 'Цена акции'.
Это и есть название лингвистической переменной.
Сформируем для

нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: 'Низкая', 'Умеренная', 'Высокая' и зададим область рассуждений в виде X=[100;200] (единиц).
Теперь необходимо построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T.
Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Пример 2.

Слайд 11

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в

точке x вычисляется согласно выражению:
При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Слайд 12

Для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная

функция принадлежности принимает симметричный вид.

Слайд 13

Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

вид.

Слайд 14

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой:
и оперирует двумя параметрами.
Параметр c обозначает

центр нечеткого множества, а параметр σ отвечает за крутизну функции.

Слайд 15

Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

вид.

Слайд 16

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно

изображаются вместе на одном графике.
На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной 'Цена акции‘.

Рисунок 3. Описание лингвистической переменной 'Цена акции'
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Слайд 17

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.
Так, для человека

48 лет степень принадлежности к множеству:
'Молодой' равна 0,
'Средний' равна 0,47,
'Выше среднего' равна 0,20.

Пример 3

Рис. 4. Описание
лингвистической
переменной
'Возраст'.

Слайд 18

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.
Так, для человека

48 лет степень принадлежности к множеству:
'Молодой' равна 0,
'Средний' равна 0,47,
'Выше среднего' равна 0,20.

Пример 3

Рис. 4. Описание
лингвистической
переменной
'Возраст'.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Слайд 19

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая

нечеткие высказывания в форме 'Если-то' и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов.
При этом должны соблюдаться следующие условия:
1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).
В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

3. Нечеткий логический вывод

Слайд 20

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R1: ЕСЛИ x1 это

A11 … И … xn это A1n, ТО y это B1
…
Ri: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi
…
Rm: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm,
где xk , k=1..n – входные переменные;
y – выходная переменная;
Aik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.
Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1..n.

Слайд 21

? введение нечеткости (фазификация),
? нечеткий вывод,
? композиция,
? приведение к четкости, или

дефазификация.

Механизм логического вывода включает 4 этапа:

Рисунок 5. Система нечеткого логического вывода

Слайд 22

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций

и разновидностью метода дефазификации.
Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.
Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математической теории множеств, нечеткая логика 'вторглась' практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью:
?Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks);
?Адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy systems).

3. Нечеткий логический вывод

Интеллектуальные информационные системы. Лекция 6. Нечеткая логика. Математические основы

Содержание

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic)

? Для поддержки принятия решений в медицине и экономике.? В автомобильной,

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function).Обозначим через MFc(x) –

Формализуем неточное определение 'горячий чай'.В качестве x (область рассуждений) будет выступать

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции.

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения,

Для описания нечетких множеств вводятсяпонятия нечеткой и лингвистической переменных.Нечеткая переменная описывается

Каждая лингвистическая переменная состоит из:• Названия;• Множества своих значений, которое также

Рассмотрим нечеткое понятие 'Цена акции'.Это и есть название лингвистической переменной.Сформируем для

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в

Для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):При (b-a)=(d-c) трапецеидальная

Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой:и оперирует двумя параметрами.Параметр c обозначает

Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.Так, для человека

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.Так, для человека

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая

Пусть в базе правил имеется m правил вида:R1: ЕСЛИ x1 это

? введение нечеткости (фазификация),? нечеткий вывод,? композиция,? приведение к четкости, или

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций

Похожие презентации

? Для поддержки принятия решений в медицине и экономике.
? В автомобильной,

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function).
Обозначим через MFc(x) –

Формализуем неточное определение 'горячий чай'.
В качестве x (область рассуждений) будет выступать

Для описания нечетких множеств вводятся
понятия нечеткой и лингвистической переменных.
Нечеткая переменная описывается

Каждая лингвистическая переменная состоит из:
• Названия;
• Множества своих значений, которое также

Рассмотрим нечеткое понятие 'Цена акции'.
Это и есть название лингвистической переменной.
Сформируем для

Для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная

Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой:
и оперирует двумя параметрами.
Параметр c обозначает

Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.
Так, для человека

На рисунке 4 представлена формализация неточного понятия 'Возраст человека'.
Так, для человека

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R1: ЕСЛИ x1 это

? введение нечеткости (фазификация),
? нечеткий вывод,
? композиция,
? приведение к четкости, или