Иррациональные уравнения 10 класс

Август 10, 2022

Главная
Математика
Иррациональные уравнения 10 класс

Содержание

2. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Иррациональные уравнения Определение: Иррациональными называются уравнения, в которых переменная
3. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Какие из уравнений являются иррациональными? а) х + √х
4. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Иррациональные уравнения рассматриваются только в области действительных чисел. При
5. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Докажите, что уравнения не имеют решений 1. ; 2.
6. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решение 1. В левой части имеем арифметический квадратный корень,
7. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решение 4. Найдем ОДЗ: Если х ≤ -1, то
8. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Теоремы 1. Если n > 0 – нечетное число,
9. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Посторонние корни Основными причинами появления посторонних корней является возведение
10. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Простейшие способы решения иррациональных уравнений Преобразовать обе части уравнения
11. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решение уравнения с радикалом четной степени Решим уравнение: Уединим
12. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решение уравнения с радикалом нечетной степени Решим уравнение: Уединим
13. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится
14. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Проверка
15. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решите уравнения 1. 2. 3. 4. 5. Ответы :
16. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 2.Метод замены переменной Ввести новую переменную. Решить уравнение, отбросить
17. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Пример Пусть тогда исходное уравнение примет вид: у1 =
18. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решить уравнение Решение Пусть Тогда
19. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Возвращаемся к замене Ответ: х = 1 или х
20. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 3. Метод равносильных преобразований при решении иррациональных уравнений равносильны
21. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Решим методом равносильных преобразований 1. Решение. Перейдем к системе
22. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 3. Перепишем данное уравнение в таком виде: Казалось бы,
23. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 При решении уравнений вида или выполняем возведение в куб
24. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Пример 1. Решите уравнение : Решение: Возведем обе части
25. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Пример 2. Решите уравнение Решение Возведем обе части уравнения
26. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 4. Метод пристального взгляда Этот метод основан на следующем
27. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Пример 1 Наличие радикалов четной степени говорит о том,
28. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Пример 2 Рассмотрим функцию Найдем область определения данной функции:
29. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Для эта функция будет принимать наименьшее значение при ,а
30. Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14 Тематический тест «Решите уравнение» 1. Решить уравнение: А. -3;4.
32. Скачать презентацию

Слайд 2

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Иррациональные уравнения
Определение: Иррациональными называются уравнения, в

которых переменная содержится под знаком корня (радикала). Например:

Слайд 3

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Какие из уравнений являются иррациональными?

а) х + √х = 2 ; б) х + √х = 0 ;
в) х√7 = 11+х ; г) у² - 3√2 = 4;
д) у + √у² + 9 = 2 ; е) √х – 1 = 3.

Слайд 4

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Иррациональные уравнения рассматриваются только в

области действительных чисел.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать свойства корня n-ой степени:
если имеем , то а ≥ 0,
если имеем ,то .
для всех а ≥ 0;
,если а ≥ 0;
, если а < 0.

Слайд 5

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Докажите, что уравнения не имеют

решений

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6.

Слайд 6

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решение
1. В левой части имеем

арифметический квадратный корень, который есть неотрицательное число, правая часть – отрицательное число. Следовательно, уравнение решений не имеет.
2. Найдем ОДЗ:
При х≥ -2 выражение положительное, а выражение неотрицательное, а их сумма может быть только положительным числом, т.к. правая часть уравнения строго больше нуля, а правая равна нулю. Получили неверное равенство. Следовательно, уравнение решений не имеет.
3. Найдем ОДЗ:
Уравнение не определено на множестве действительных чисел, поэтому решений нет.

Слайд 7

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решение
4. Найдем ОДЗ:
Если

х ≤ -1, то х-5 ≤ -1- 5, поэтому отрицательное число. Исходное уравнение не верное, поэтому решений не имеет.
5. Найдем ОДЗ:
6. Найдем ОДЗ:
Для любого х из ОДЗ имеем верное неравенство 0 ≤ х-3 ≤ х+9. Учитывая монотонность функции , имеем, что
Левая часть исходного уравнения отрицательная, а правая - положительная. Поэтому исходное уравнение решения не имеет.

Слайд 8

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Теоремы
1. Если n > 0

– нечетное число, n=2k+1, то уравнения
Аn(х) = Вn(х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные).
2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения Аn(х) = Вn(х) удовлетворяют хотя бы одно из уравнений:
А(х) = В(х) или А(х) = -В(х) .

Слайд 9

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Посторонние корни
Основными причинами появления посторонних

корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др.
По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

Слайд 10

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Простейшие способы решения иррациональных уравнений
Преобразовать

обе части уравнения к виду
Возвести обе части в n-ую степень
Учитывая, что получаем:
Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ)

1.Возведение в одну степень обеих частей уравнения

Слайд 11

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решение уравнения с радикалом четной

степени

Решим уравнение:

Уединим радикал:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Решим квадратное уравнение :

D = 49, х = -3, х = 4.

Тогда :

Проверка :

Ответ : х=4.

Слайд 12

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решение уравнения с радикалом нечетной

степени

Решим уравнение:

Уединим радикал:

Возведем обе части уравнения в 7 степень:

Решим полученное уравнение :

Ответ : х=-133.

Слайд 13

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Если квадратных корней в иррациональном

уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

Слайд 14

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Проверка

Слайд 15

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решите уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
Ответы :
1) 4/3;

2) 6;
3) -1:1;
4) 0;
5) 3;7.

Слайд 16

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
2.Метод замены переменной
Ввести новую переменную.
Решить

уравнение, отбросить посторонние корни.
Вернуться к первоначальному неизвестному.

Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал.
Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения.
При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Слайд 17

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Пример
Пусть
тогда исходное уравнение примет

вид:

у1 = -7, посторонний
у2 = 6

Решим уравнение

получим:

х = 3,
х = - 4,5

Ответ: х = 3; х = - 4,5.

Слайд 18

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решить уравнение
Решение
Пусть
Тогда

Слайд 19

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Возвращаемся к замене
Ответ: х =

1 или х = - 6.

Слайд 20

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
3. Метод равносильных преобразований при

решении иррациональных уравнений

равносильны системе

Уравнения вида

равносильны системе

Слайд 21

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Решим методом равносильных преобразований
1.
Решение.
Перейдем

к системе
равносильной данному уравнению

Ответ: х=2

Решение.
Запишем систему ,
равносильную исходному уравнению:

Ответ: х=3.

Слайд 22

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
3.
Перепишем данное уравнение в таком

виде:

Казалось бы, х=3-корень уравнения, но 3 не входит в
область определения. Данное уравнение равносильно системе:

Исходное уравнение равносильно такому:

Ответ: х=0, х=5.

Слайд 23

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
При решении уравнений вида
или
выполняем

возведение в куб
обеих частей уравнения, используя формулу

или

Слайд 24

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Пример 1. Решите уравнение :
Решение:
Возведем

обе части уравнения в куб. Имеем:

По условию

. Полученное уравнение имеет вид:

Возведем обе части уравнения в куб. Получим:

Выполним проверку. х=0 – посторонний корень.
Ответ: х=1.

Слайд 25

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Пример 2. Решите уравнение
Решение
Возведем обе

части уравнения в куб. Имеем:

учитывая, что

имеем:

Выполним проверку: х=-6-посторонний корень
Ответ: х=1.

Слайд 26

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
4. Метод пристального взгляда
Этот метод

основан на следующем теоретическом положении: “Если функция
возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”
Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:
Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.
Записать область определения данной функции.
Доказать ее монотонность в области определения.
Угадать корень уравнения.
Обосновать, что других корней нет.
Записать ответ.

Слайд 27

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Пример 1
Наличие радикалов четной степени

говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного х.

Слайд 28

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Пример 2
Рассмотрим функцию
Найдем область

определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Слайд 29

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Для эта функция будет принимать

наименьшее значение при ,а далее только возрастать.
Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению
Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

Слайд 30

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14
Тематический тест «Решите уравнение»
1. Решить

уравнение:

А. -3;4. Б. -3. В. -3;4;6. Г. 6

2. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения

А. 5. Б. 4. В. 1. Г. 0. Д. -3.

3. Решите уравнение

Если уравнение имеет один корень, запишите его в ответ.
Если уравнение имеет несколько корней,
то запишите в ответ их произведение.

Иррациональные уравнения 10 класс

Содержание

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Иррациональные уравненияОпределение: Иррациональными называются уравнения, в

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Какие из уравнений являются иррациональными?

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Иррациональные уравнения рассматриваются только в

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Докажите, что уравнения не имеют

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решение1. В левой части имеем

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решение 4. Найдем ОДЗ: Если

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Теоремы1. Если n > 0

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Посторонние корниОсновными причинами появления посторонних

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Простейшие способы решения иррациональных уравненийПреобразовать

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решение уравнения с радикалом четной

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решение уравнения с радикалом нечетной

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Если квадратных корней в иррациональном

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Проверка

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решите уравнения1.2.3.4.5.Ответы : 1) 4/3;

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№142.Метод замены переменнойВвести новую переменную.Решить

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14ПримерПусть тогда исходное уравнение примет

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решить уравнениеРешениеПустьТогда

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Возвращаемся к заменеОтвет: х =

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№143. Метод равносильных преобразований при

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Решим методом равносильных преобразований1.Решение. Перейдем

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№143.Перепишем данное уравнение в таком

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14При решении уравнений вида иливыполняем

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Пример 1. Решите уравнение :Решение:Возведем

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Пример 2. Решите уравнениеРешениеВозведем обе

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№144. Метод пристального взглядаЭтот метод

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Пример 1Наличие радикалов четной степени

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Пример 2Рассмотрим функцию Найдем область

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Для эта функция будет принимать

Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ№14Тематический тест «Решите уравнение»1. Решить

Похожие презентации