Исследование функций и построение графиков. Возрастание и убывание функции одной переменной. Определение. (Семинар 12)
- Главная
- Математика
- Исследование функций и построение графиков. Возрастание и убывание функции одной переменной. Определение. (Семинар 12)
Содержание
- 2. Экстремум функции одной переменной Определение Функция f(x) имеет максимум при значении аргумента х, если в некоторой
- 3. Теорема Если вторая производная функции положительна в некотором интервале, то ее график является выпуклым вниз, если
- 4. Исследование функций и построение их графиков проводят по схеме, приведенной ниже. 1.Нахождение области определения функции. 2.Изучение
- 5. -функция убывает Найти экстремумы функции Решение поскольку f’(x)>0 при x 0 при x>1, то - точка
- 6. Решение ОДЗ: функция общего вида 3) 4) f’(x)=0; - точка максимума; - точка минимума; 5) Значения
- 7. Примеры для самостоятельного решения Провести полное исследование функции и построить ее график 1) 2) 3) 4)
- 9. Скачать презентацию
Слайд 2
Экстремум функции одной переменной
Определение
Функция f(x) имеет максимум при значении аргумента х,
Экстремум функции одной переменной
Определение
Функция f(x) имеет максимум при значении аргумента х,
если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
Аналогично
Функция f(x) имеет минимум при значении аргумента х, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
1.Необходимое условие экстремума функции
Теорема
В точке экстремума функции (двустороннего) дифференцируемой функции ее производная равна нулю.
2.Достаточное условие экстремума
Теорема 1
Если производная функции f(x) равна нулю при и меняет знак при переходе через то - точка экстремума, причем
1) - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус;
- точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс
Направление выпуклости графика функции
Аналогично
Функция f(x) имеет минимум при значении аргумента х, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
1.Необходимое условие экстремума функции
Теорема
В точке экстремума функции (двустороннего) дифференцируемой функции ее производная равна нулю.
2.Достаточное условие экстремума
Теорема 1
Если производная функции f(x) равна нулю при и меняет знак при переходе через то - точка экстремума, причем
1) - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус;
- точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс
Направление выпуклости графика функции
Слайд 3
Теорема
Если вторая производная функции положительна в некотором интервале, то ее
Теорема
Если вторая производная функции положительна в некотором интервале, то ее
график является выпуклым вниз, если вторая производная функции отрицательна, то ее график является выпуклым вверх в соответствующем интервале.
Точки перегиба графика функции
Точкой перегиба графика функции называется такая точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость.
Теорема
Если при вторая производная функции f(x) равна 0 и меняет знак при переходе через эту точку, то данная точка есть точка перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции
Прямую, определяемую уравнением х=а, называют вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а является бесконечным. или
Прямую, определяемую уравнением y=kx+b (1) называют невертикальной (наклонной) асимптотой графика функции y=f(x), если эта функция представима в виде
(2) где (3)
Если график функции y=f(x) имеет невертикальную асимптоту (1), тогда существуют два предела (4)
Исследование функций и построение их графиков
Под исследованием функций понимают изучение их изменения в зависимости от изменения аргумента.
Точки перегиба графика функции
Точкой перегиба графика функции называется такая точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость.
Теорема
Если при вторая производная функции f(x) равна 0 и меняет знак при переходе через эту точку, то данная точка есть точка перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции
Прямую, определяемую уравнением х=а, называют вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а является бесконечным. или
Прямую, определяемую уравнением y=kx+b (1) называют невертикальной (наклонной) асимптотой графика функции y=f(x), если эта функция представима в виде
(2) где (3)
Если график функции y=f(x) имеет невертикальную асимптоту (1), тогда существуют два предела (4)
Исследование функций и построение их графиков
Под исследованием функций понимают изучение их изменения в зависимости от изменения аргумента.
Слайд 4
Исследование функций и построение их графиков проводят по схеме, приведенной ниже.
1.Нахождение
Исследование функций и построение их графиков проводят по схеме, приведенной ниже.
1.Нахождение
области определения функции.
2.Изучение изменения функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения (находятся соответствующие односторонние пределы).
3.Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, исследуя знак ее первой производной.
4.Нахождение точек экстремумов функции. Стационарные и критические точки. Исследование первой и второй производной. Вычисление экстремумов функции.
5.Нахождение промежутков выпуклости, вогнутости графика функции, точек перегиба.
6.Нахождение асимптот графика функции
7.Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. Решение систем уравнений
Кроме того, учитывается четность и нечетность функции, ее периодичность.
Примеры с решениями
Исследовать функцию на возрастание и убывание
Решение
Эти значения разбивают ось ОХ на три интервала
-функция возрастает
2.Изучение изменения функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения (находятся соответствующие односторонние пределы).
3.Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, исследуя знак ее первой производной.
4.Нахождение точек экстремумов функции. Стационарные и критические точки. Исследование первой и второй производной. Вычисление экстремумов функции.
5.Нахождение промежутков выпуклости, вогнутости графика функции, точек перегиба.
6.Нахождение асимптот графика функции
7.Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. Решение систем уравнений
Кроме того, учитывается четность и нечетность функции, ее периодичность.
Примеры с решениями
Исследовать функцию на возрастание и убывание
Решение
Эти значения разбивают ось ОХ на три интервала
-функция возрастает
Слайд 5
-функция убывает
Найти экстремумы функции
Решение поскольку f’(x)>0 при x<-1, f’(x)<0 при
-функция убывает
Найти экстремумы функции
Решение поскольку f’(x)>0 при x<-1, f’(x)<0 при
-10 при x>1, то - точка максимума, - точка минимума
3. Найти экстремумы функции
Решение 3(x+2)(x-3)=0
f’’(x)=6x-3; f’’(-2)=-15<0, тогда - точка максимума
f’’(x)=15>0, тогда - точка минимума.
4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
Решение
f’’(x)>0, при x>1 – выпуклость вниз, f’’(x)<0, при x<1 – выпуклость вверх
5. Найти точку перегиба графика функции
Решение
При x<2 f’’(x)<0; при x>2 f’’(x)>0. Следовательно, М(2,6) – точка перегиба.
6. Исследовать функции и построить ее график
3. Найти экстремумы функции
Решение 3(x+2)(x-3)=0
f’’(x)=6x-3; f’’(-2)=-15<0, тогда - точка максимума
f’’(x)=15>0, тогда - точка минимума.
4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
Решение
f’’(x)>0, при x>1 – выпуклость вниз, f’’(x)<0, при x<1 – выпуклость вверх
5. Найти точку перегиба графика функции
Решение
При x<2 f’’(x)<0; при x>2 f’’(x)>0. Следовательно, М(2,6) – точка перегиба.
6. Исследовать функции и построить ее график
Слайд 6
Решение
ОДЗ: функция общего вида
3)
4) f’(x)=0; - точка максимума; - точка минимума;
Решение
ОДЗ: функция общего вида
3)
4) f’(x)=0; - точка максимума; - точка минимума;
5) Значения экстремумов f(0)=2; f(2)=-2
6) ) f’’(x)=6x-6=6(x-1), x<1, f’’(x)<0; x>1, f’’(x)>0 - x=1 – точка перегиба
Асимптот нет.
=0 - нули функции. x=0,y=2
Слайд 7
Примеры для самостоятельного решения
Провести полное исследование функции и построить ее график
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Примеры для самостоятельного решения
Провести полное исследование функции и построить ее график
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)