Изображение пространственных фигур на плоскости

всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.
Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А.

А

проекций)

α

и любую прямую a пересекает α (она задает направление

параллельного проектирования).

а

прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость α. Точку А ещё называют прообразом, а точку А’ – образом. Если А∈α, то А’ совпадает с А.

плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

а

α

Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом(прообраз) в пространстве тень(образ) от солнечных лучей(направление параллельного проектирования) на Земле(плоскость проекций).

плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему).

А

а

α

проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

параллельное проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием.

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

фигура параллельны (α||(АВС)), то получающееся при этом изображение…

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

…правильно – равно прообразу!

прямой сохраняется;

Параллельное проектирование обладает свойствами:
параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

α

а

A

D

C

B

A’

D’

C’

B’

Если, например, АВ=2CD, то А’В’=2C’D’ или

М

М’

фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение – см. примечание 4).

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

β

β’

C

C’

прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

K

N

Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K;

O

N

K

2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D.

– равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и ,конечно же, свойствами параллельного проектирования.

A

C

D

E

Решение. Просмотрите ход построения…

B

точка вне плоскости
m || а
А’ – параллельная проекция А на плоскость π

Ф – некоторая фигура в пространстве ;
проекции ее точек на плоскость π
образуют фигуру Ф' ;
Ф' – параллельная проекция фигуры Ф
на плоскость π в направлении
прямой m

Примеры параллельных проекций – тени предметов под воздействием пучка
параллельных солнечных
лучей

А

С

В

В1

m

в а) прямую ; б) отрезок.

2. Изобразите параллельную проекцию: а) прямоугольника ; б) трапеции

3. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника

4.Изобразите параллельную проекцию квадрата: а) с вписанной в
него окружностью; б) с описанной около него окружностью

- центр проектирования
А – произвольная точка пространства
Прямая а соединяет точки А и S
А’ – центральная проекция А на плоскость π

π

А

a

S

а || π , то
А не имеет
проекции на
эту плоскость

Центральное проектирование

в жипописи

в фотографии

восприятие человеком
окружающих предметов
посредством зрения

плоскость π образуют фигуру Ф' ;
Ф' – центральная проекция фигуры Ф

Плоскость
проектирования π
расположена между
фигурой Ф и центром
проектирования S

Центр проектирования S
расположен между фигурой Ф и плоскостью
проектирования π

Фигура Ф расположена
между плоскостью
проектирования π
и центром
проектирования S

вне этой плоскости.
Отрезки, соединяющие точки фигуры Ф с точкой S, образуют
конус.
Частный случай конуса – пирамида.

усеченный
конус

Центральная проекция
прямой - прямая

Центральная проекция параллельных
прямых – пересекающиеся прямые