Дифференциальные уравнения

Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

З а м е ч а н и е 2.
В отличие от рассматриваемых в данном курсе производных – производных целого порядка - в последнее время всё чаще используются так называемые производные дробного порядка или фрактальные производные. Полученные при этом результаты оказываются более адекватными реальным процессам. Фрактальные методы используются, например, военными при обработке и сжатии цифровых изображений для сокращения объёма и кодирования информации, что особенно важно как для увеличения скорости передачи так и для эффективности хранения данных.

Решения различных геометрических, физических, инженерных, экономических и многих других практических и теоретических задач часто приводят к дифференциальным уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие исследуемый процесс, с функциями этих переменных и их производными различных порядков.

З а м е ч а н и е 1.
Исходную функцию при этом считают производной порядка ноль.

уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

• Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция, при подстановке производных которой в уравнение получаем тождество.

Пример.

нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

 

 

обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка
2.1. Уравнения второго порядка,
не содержащие явно искомой функции