Коммутативность операторов Дункла

Докажем, что семейство {Tξ}ξ∈V операторов Дункла является коммутативным относительно композиции.
Теорема 4.

которую перепишем в следующем виде:

Очевидно ∂ξ∂η − ∂η∂ξ = 0. Далее, преобразуем выражение

Из эквивариантности оператора ∇ вытекает, что
Поэтому рассматриваемая разность может быть преобразована

которое симметрично относительно векторов ξ и η. Но это означает, что

Преобразуем правую часть последнего равенства:

Рассмотрим сумму Ω1, которую преобразуем, пользуясь инвариантностью скалярного произведения относительно действия

Ясно, что при фиксированном β найдется единственный положительный корень α ′,

Заменяя α ′ на α, окончательно получаем, что
Аналогичные рассуждения показывают, что

Меняя в последней сумме α на β и β на α,

По тем же причинам, что и выше вместо sαβ можно писать