Конструкция многообразий, ассоциированных с классическими системами корней

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Конструкция многообразий, ассоциированных с классическими системами корней

Содержание

2. Пусть |R| = N — число корней в системе R, CN — комплексное пространство, ассоциированное с
3. соответственно, где γ, δ ∈ R, w ∈ W(R).
4. Случай A Пусть дана система корней типа An−1 (n ≥ 2). Векторное пространство V — это
5. где (ei) — стандартный базис в Rn . В качестве базиса можно выбрать корни αk,k+1, где
6. Для краткости, отражение относительно αij обозначим через sij . Таким образом, отражение однозначно определяется неупорядоченной парой
7. Далее, пусть даны отражения sij и skl. Когда все индексы по- парно различны, FAn−1 (αij, αkl)
8. Рассмотрим, например, произведение отражений sij и sik. Можно считать, что j sαsβ = ssαβsα вытекают следующие
9. Произведение sijsik отображает вектор (. . ., xi , . . ., xj , . .
10. Таким образом, уравнения, определяющие многообразие Бете-Дункла имеют вид:
11. Поскольку в системе типа An−1 все корни имеют одинаковую длину, то значение функции kα на всех
12. получаем эквивалентную систему линейных уравнений: uij − uik + ujk = uji − uki + ukj
13. Доказательство. В системе корней An−1 введем отношение порядка следующим образом. Пусть i l, то αij ≺
14. Далее, все уравнения системы (1), не входящие в указанную подсистему, являются линейными комбинациями уравнений подсистемы. В
15. Так как число таких уравнений равно а переменных n(n − 1), то размерность многообразия Бете-Дункла равна
16. в пространстве Cn(n−1) с исключенными гиперплоскостями uij − uji = 0, где 1 ≤ i Пример.
17. w123 = s12s13 = s23s12 = s13s23, w124 = s12s14 = s24s12 = s14s24, w134 =
18. Последнее уравнение этой системы, как легко видеть, является линейной комбинацией первых трех. Относительно порядка, введенного при
19. Поэтому система, составленная из них, линейно независима. Следовательно размерность многообразия равна 9, что согласуется с доказанной
20. Случай D Рассмотрим систему корней типа Dn (n ≥ 3). Относительно базиса αk−1,k = ek−1−ek (1
21. Отражение относительно вектора αij обозначим, как и выше, через sij , а относительно вектора βij —
22. Как и в предыдущем случае, произведения sijsik, sjksij , siksjk и только они, отображают вектор (.
23. sijσik(. . ., xi , . . ., xj , . . ., xk, . .
24. Координаты, отвечающие корням αij , −αij , βij , −βij , обозначим через uij, uji, vij,
25. После соответствующих преобразований, уравнение, отвечающее элементу sijsik, примет вид: uij − uik + ujk = uji
26. Для произведения sijσki уравнения имеют аналогичную форму: uij − vki + vjk = uji − vik
27. Напомним, что рассматриваются только положительные корни, поэтому первый индекс отражения всегда выбирается меньше второго. Таким образом,
28. Лемма 18. Система линейных уравнений (3) эквивалентна системе (2) и линейно независима.
29. Доказательство. Линейная независимость уравнений системы устанавливается по ее матрице, которая при подходящем выборе по- рядка во
30. ui,i+3 − vi,i+1 + vi+1,i+3 = ui+3,i − vi+1,i + vi+3,i+1 из ui,i+3 − vi,i+2 +
31. Точно также разность уравнений ui,i+1 − vij + vi+1,j = ui+1,i − vji + vj,i+1 и
32. Таким образом, каждое уравнение системы (3) является линейной комбинацией уравнений системы (2). Далее, уравнение uij −
33. Каждое из последних уравнений можно получить из уравнений системы (3). Например, уравнение uij − vi,j+2 +
35. Аналогичные рассуждения проходят и для остальных уравнений системы, что завершает доказательство леммы. (доказано) Доказанная лемма позволяет
37. Скачать презентацию

Слайд 2

Пусть |R| = N — число корней в системе R, CN

— комплексное пространство, ассоциированное с R. Через (uα)α∈R обозначим координаты в CN , упорядоченные относительно порядка, выбранного в R.
Опишем явно многообразия Бете-Дункла для классических систем корней. При этом, мы будем пользоваться оригинальным определением универсальных операторов Дункла. В этом случае многообразия Бете и Дункла задаются системами уравнений

Слайд 3

соответственно, где γ, δ ∈ R, w ∈ W(R).

Слайд 4

Случай A
Пусть дана система корней типа An−1 (n ≥ 2).

Векторное пространство V — это гиперплоскость пространства Rn , состоящая из векторов, сумма координат которых равна нулю. Напомним, что корнями будут являться векторы вида

Слайд 5

где (ei) — стандартный базис в Rn . В качестве базиса

можно выбрать корни αk,k+1, где (1 ≤ k ≤ n). Тогда положительными корнями будут векторы αij c i < j. Простой подсчет показывает, что
|An−1| = n(n − 1).
Билинейная форма FAn−1 задается равенством

Слайд 6

Для краткости, отражение относительно αij обозначим через sij . Таким образом,

отражение однозначно определяется неупорядоченной парой {i, j} с i ≠ j.
Заметим, что можно считать i < j, так как sij = sji. Легко видеть, что отражение sij действует перестановкой координат xi и xj , т.е.
sij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., xj , . . ., xi , . . .).

Слайд 7

Далее, пусть даны отражения sij и skl. Когда все индексы по-

парно различны, FAn−1 (αij, αkl) = 0. Поэтому этот случай можно исключить из рассмотрения. Остается исследовать ситуацию, когда из четырех индексов i, j, k, l только три различные.

Слайд 8

Рассмотрим, например, произведение отражений sij и sik. Можно считать, что j

< k, поскольку уравнение, выписанное по элементу группы Вейля w=sαsβ совпадает с уравнением, которое отвечает элементу w′=sβsα. Из известного соотношения
sαsβ = ssαβsα
вытекают следующие равенства:
sijsik = sjksij = siksjk.

Слайд 9

Произведение sijsik отображает вектор (. . ., xi , . .

., xj , . . ., xk, . . .) в вектор (. . ., xj , . . ., xk, . . ., xi , . . .). По этой причине, других произведений (кроме указанных в последнем равенстве), обладающих данным свойством, быть не может.
Координату в пространстве Cn(n−1), отвечающую корню αij обозначим через uij .

Слайд 10

Таким образом, уравнения, определяющие многообразие Бете-Дункла имеют вид:

Слайд 11

Поскольку в системе типа An−1 все корни имеют одинаковую длину, то

значение функции kα на всех корнях постоянно. В результате
т.е. на множестве

Слайд 12

получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
uij − uik + ujk =

uji − uki + ukj , 1 ≤ i < j < k ≤ n. (1)
Лемма 17. Подсистема системы (1), состоящая из уравнений вида
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj, 1 < j < k ≤ n.
линейно независима.

Слайд 13

Доказательство. В системе корней An−1 введем отношение порядка следующим образом. Пусть

i < j и k < l, тогда скажем, что αij ≺ αkl и αji ≺ αlk, если i < k или i = k, но j < l. Если же i < j и k > l, то αij ≺ αkl. Координаты пространства Cn(n−1) упорядочим относительно порядка ≺. Тогда матрица системы (1) имеет единичную подматрицу, порядок которой равен числу уравнений указанной подсистемы, что и доказывает независимость ее уравнений.

Слайд 14

Далее, все уравнения системы (1), не входящие в указанную подсистему, являются

линейными комбинациями уравнений подсистемы. В самом деле, если 1 ≤ i < j < k ≤ n, то, сложив уравнения
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj ,
u1i − u1j + uij = ui1 − uj1 + uji,
u1k − u1i + uki = uk1 − ui1 + uik,
получим уравнение
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj.

Слайд 15

Так как число таких уравнений равно
а переменных n(n − 1), то

размерность многообразия Бете-Дункла равна
Итак, доказана
Теорема 11. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа An−1 представляет собой плоскость
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj , 1 < j < k ≤ n

Слайд 16

в пространстве Cn(n−1) с исключенными гиперплоскостями uij − uji = 0,

где 1 ≤ i < j ≤ n. Его размерность равна
Пример. Рассмотрим описанную конструкцию для системы корней типа A3. Всего имеется 12 корней, 6 из которых положительны. Поэтому для написания системы достаточно рассмотреть следующие элементы группы Вейля:

Слайд 17

w123 = s12s13 = s23s12 = s13s23,
w124 = s12s14 =

s24s12 = s14s24,
w134 = s13s14 = s34s13 = s14s34,
w234 = s23s24 = s34s23 = s24s34.
Система (1) имеет следующий вид:

Слайд 18

Последнее уравнение этой системы, как легко видеть, является линейной комбинацией первых

трех. Относительно порядка, введенного при доказательстве леммы, система из первых трех уравнений имеет матрицу

Слайд 19

Поэтому система, составленная из них, линейно независима. Следовательно размерность многообразия равна

9, что согласуется с доказанной теоремой.

Слайд 20

Случай D
Рассмотрим систему корней типа Dn (n ≥ 3). Относительно базиса

αk−1,k = ek−1−ek (1 ≤ k ≤ n), βn−1,n = en−1+en положительными корнями являются векторы αij = ei−ej , βij = ei+ej , где 1 ≤ i < j ≤ n.
Имеют место формулы: |Dn| = 2n(n − 1),

Слайд 21

Отражение относительно вектора αij обозначим, как и выше, через sij ,

а относительно вектора βij — через σij . Эти отражения действуют на V = Rn по формулам:
sij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., xj , . . ., xi , . . .),
σij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., −xj , . . ., −xi , . . .).

Слайд 22

Как и в предыдущем случае, произведения sijsik, sjksij , siksjk и

только они, отображают вектор (. . ., xi , . . ., xj , . . ., xk, . . .) в вектор (. . ., xj , . . ., xk, . . ., xi , . . .). Остаются произведения вида sijσkl. В том случае, когда индексы i, j, k, l попарно различны или i = k, j = l, очевидно, что FDn (αij, βkl) = 0. Поэтому достаточно рассмотреть элементы вида sijσik и sijσki. Ясно, что
sijσik = σjksij = σikσjk,

Слайд 23

sijσik(. . ., xi , . . ., xj , .

. ., xk, . . .) =
(. . ., xj , . . ., −xk, . . ., −xi , . . .)
и других произведений, осуществляющих такое отображение нет. Сказанное относится и к элементу sijσki.

Слайд 24

Координаты, отвечающие корням αij , −αij , βij , −βij ,

обозначим через uij, uji, vij, vji соответственно.
Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с Dn вложено во множество

Слайд 25

После соответствующих преобразований, уравнение, отвечающее элементу sijsik, примет вид:
uij − uik

+ ujk = uji − uki + ukj ;
а элементу sijσik —
uij − vik + vjk = uji − vki + vkj, если j < k,
uij − vik + vkj = uji − vki + vjk, если k < j.

Слайд 26

Для произведения sijσki уравнения имеют аналогичную форму:
uij − vki + vjk

= uji − vik + vkj, если j < k,
uij − vki + vkj = uji − vik + vjk, если k < j.
Индексы i, j, k принимают целые значения
от 1 до n.

Слайд 27

Напомним, что рассматриваются только положительные корни, поэтому первый индекс отражения всегда

выбирается меньше второго. Таким образом, система уравнений (2)
полностью определяет многообразие Бете-Дункла. Но в ней имеются линейно зависимые уравнения.

Слайд 28

Лемма 18. Система линейных уравнений (3)
эквивалентна системе (2) и линейно независима.

Слайд 29

Доказательство. Линейная независимость уравнений системы устанавливается по ее матрице, которая при

подходящем выборе по- рядка во множестве координат имеет ступенчатый вид.
Докажем теперь эквивалентность систем (2) и (3). Во-первых, вычитая

Слайд 30

ui,i+3 − vi,i+1 + vi+1,i+3 = ui+3,i − vi+1,i + vi+3,i+1
из
ui,i+3

− vi,i+2 + vi+2,i+3 = ui+3,i − vi+2,i + vi+3,i+2,
получим уравнение
vi,i+1 − vi,i+2 − vi+1,i+3 + vi+2,i+3 = vi+1,i − vi+2,i − vi+3,i+1 + vi+3,i+2.

Слайд 31

Точно также разность уравнений
ui,i+1 − vij + vi+1,j = ui+1,i

− vji + vj,i+1
и
ui,i+1 − vi,j+1 + vi+1,j+1 = ui+1,i − vj+1,i + vj+1,i+1
дает уравнение
vij − vi,j+1 − vi+1,j + vi+1,j+1 = vji − vj+1,i − vj,i+1 + vj+1,i+1.

Слайд 32

Таким образом, каждое уравнение системы (3) является линейной комбинацией уравнений системы

(2).
Далее, уравнение
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj
является разностью суммы уравнений
uij − vik + vjk = uji − vki + vkj ,
ujk − vij + vik = ukj − vji + vki
и уравнения uik − vij + vjk = uki − vji + vkj .

Слайд 33

Каждое из последних уравнений можно получить из уравнений системы (3).
Например,

уравнение
uij − vi,j+2 + vj,j+2 = uji − vj+2,i + vj+2,j
получается сложением уравнений

Слайд 34

Слайд 35

Аналогичные рассуждения проходят и для остальных уравнений системы, что завершает доказательство

леммы. (доказано)
Доказанная лемма позволяет вычислить размерность многообразия Бете-Дункла для системы корней типа Dn. Так как количество уравнений системы (3) равно n(n−2), то размерность многообразия равна n2 . В результате доказана