Комплексные числа

Август 20, 2022

Главная
Математика
Комплексные числа

Содержание

2. Комплексные числа 1.Историческая открытия. 2. Основные понятия. а) Геометрическое изображение комплексных чисел б) Модуль и аргумент
3. 1. Историческая справка Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических
4. Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754) Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения
5. Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали
6. Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской академии наук. В его
7. Основные понятия Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a и b действительные числа, а
8. Геометрическая интерпретация комплексных чисел Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной декартовой системе координат либо точкой
9. Модуль и аргумент комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа Arg z =ϕ +2πn, n∈z,
10. Найти модуль комплексного числа Вычислить По знакам и определить четверть, в которой заканчивается искомый угол Найти
11. 6. Формы записи комплексных чисел Алгебраическая z =a + bi Тригонометрическая z = r (cos φ
12. 7. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной без использования алгоритма z1 =
13. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной с использованием алгоритма Z = 2
14. Практическое применение
15. Комплексные числа в экономике Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники,
16. Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Комплексные числа
1.Историческая открытия.
2. Основные понятия.
а) Геометрическое изображение комплексных чисел
б)

Модуль и аргумент комплексного числа.
в) Формы записи комплексных чисел.
г) Алгоритм перехода от алгебраической формы. комплексного числа к тригонометрической и показательной.
д) Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной без использования алгоритма.
е) Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной с использованием алгоритма.
3. Практическое применение
а) Применение в экономике
б) Формула Кардано

Слайд 3

1. Историческая справка
Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое

искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.
Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
Символ i предложил российский ученый Л. Эйлер (1777, опубликовано1794).
Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).
Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).
В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).
Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).
Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Слайд 4

Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754)
Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел

(1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

Слайд 5

Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855)
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик.

Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

Слайд 6

Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830)
Леонард Эйлер -
математик, академик Петербургской

академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, π, i)

Слайд 7

Основные понятия
Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a

и b действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i2=-1.
Действительные числа: z=a+0i=a, z=Re z.
Мнимые числа: z=0+bi=bi, z=Im z.
Равные комплексные числа: z1=a+bi, z2=c+di,
z1=z2, если a=c, b=d.
Противоположные комплексные числа:
z=a+bi,
z=-a-bi.
Сопряженные комплексные числа:
z=a+bi,
z=a-bi.

Слайд 8

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной

декартовой системе координат либо точкой М(а; в), либо радиус – вектором этой точки
r =ОМ=(а; в).

Слайд 9

Модуль и аргумент комплексного числа
Модуль комплексного числа
Аргумент комплексного числа
Arg z

=ϕ +2πn,
n∈z,
ϕ = arctg b/a,
-π < ϕ ≤ π.

Слайд 10

Найти модуль комплексного числа
Вычислить
По знакам и определить четверть, в которой заканчивается

искомый угол
Найти аргумент комплексного числа , используя следующие равенства:
первая четверть:
вторая четверть:
третья четверть:
четвертая четверть:
Записать комплексное число в тригонометрической или показательной форме.

Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной

Слайд 11

6. Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая
z =a + bi
Тригонометрическая
z = r

(cos φ + i sin φ)
Показательная
z = r e iφ ,
e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера

Слайд 12

7. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной

без использования алгоритма

z1 = 3 = 3 (cos 0°+i sin 0°) = 3 e i0°

z2 = 4,5 = 4,5 (cos 90°+i sin 90°) = 4,5 e i90°

z3 = -7 = 7 (cos 180°+i sin 180°) = 7 e i180°

Слайд 13

Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной

с использованием алгоритма

Z = 2 +2i,
a = 2, b = 2,

Слайд 14

Практическое применение

Слайд 15

Комплексные числа в экономике
Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения

комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел …….

Слайд 16

Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены -

денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей

Комплексные числа

Содержание

Комплексные числа 1.Историческая открытия.2. Основные понятия. а) Геометрическое изображение комплексных чиселб)

1. Историческая справкаВпервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое

Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754)Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел

Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855)Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик.

Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской

Основные понятияКомплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a

Геометрическая интерпретация комплексных чиселКомплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной

Модуль и аргумент комплексного числаМодуль комплексного числаАргумент комплексного числаArg z

Найти модуль комплексного числаВычислитьПо знакам и определить четверть, в которой заканчивается

6. Формы записи комплексных чиселАлгебраическая z =a + biТригонометрическаяz = r