Комплексные функции и многочлены

Лекция 4

2. Многочлены в комплексной области.

1. Комплексная функция действительного аргумента.

Комплексные функции

В алгебраической форме z(t) выглядит так:

Отсюда, в частности, следует правило дифференцирования комплексной функции:

Пример:

Решение.

действительно,

Рассмотрим многочлен порядка n:

Здесь

z - комплексная переменная.

Как и в элементарной алгебре справедливо
основное свойство деления:

Здесь:

Корни многочлена

( деление без остатка)

В развернутом виде:

Такое уравнение называется алгебраическим уравнением n-ой степени.

Теорема Безу.

Доказательство.

По условию:

По основному свойству деления:

Пложим z = a, тогда

Следствие.

и т.д.

Основная теорема алгебры

Многочлен n-ой степени имеет ровно n корней, если

Таким образом:

Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами являются сопряженными парами корней

Из теоремы Безу и основной теоремы алгебры следует,
что всякий многочлен степени

Здесь

…………………………..

1.

Линейные множители

- соответствуют действительным корням zi кратности ki,

2.

Квадратичные множители

где p,q -

Для доказательства последнего рассмотрим:

Здесь:

Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами имеет разложение:

Пример:

Решение.

Действительных корней нет. Комплексные корни: