Выпуклые многогранники

Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.

S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

– выпуклые; б), в) – невыпуклые.

а) 56о, 98о, 139о и 72о; б) 32о, 49о, 78о и 162о; в) 85о, 112о, 34о и 129о; г) 43о, 84о, 125о и 101о.

Ответ: а) Нет;

б) да;

в) нет;

г) да.

выпуклые; а), в), г) – невыпуклые.

многоугольниками.

Ответ: Например, многогранник, составленный из семи кубов, называемый пространственным крестом.

n ребрами.

Решение. Если n = 2k (k >2), то примером многогранника с n ребрами является k-угольная пирамида.
Если n = 2k +3 (k > 2), то примером многогранника с n ребрами является k-угольная пирамида, у которой отрезан один угол при основании, как это было сделано ранее.

одинаковым числом ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым числом ребер

Решение. Рассмотрим грань многогранника с наибольшим числом ребер. Обозначим это число ребер n. К этой грани примыкают n граней, числа ребер которых могут быть 3, …, n. Таких чисел n – 2. Следовательно, среди этих n граней найдутся грани, имеющие одинаковое число ребер.

которых сходится одинаковое число ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех вершин с одинаковым числом ребер

Решение. Рассмотрим вершину многогранника с наибольшим числом ребер. Обозначим это число ребер n. Концами этих ребер являются n вершин, числа ребер которых могут быть 3, …, n. Таких чисел n – 2. Следовательно, среди этих n вершин найдутся вершины, в которых сходится одинаковое число ребер.

числом ребер четно.

Решение. Предположим, что число граней с нечетным числом ребер нечетно. Тогда общее число ребер в этих гранях будет нечетным. Общее число ребер в гранях с четным числом ребер четно. Поэтому число ребер всех граней будет нечетно. Однако каждое ребро входит ровно в две грани, и при подсчете ребер, входящих в грани, мы считали каждое ребро дважды, т.е. оно должно быть четным. Противоречие. Следовательно, число граней с нечетным числом ребер должно быть четно.