Конус. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Конус. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус

Содержание

2. Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости
3. Понятие конуса Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Круг называется основанием
4. Конус – фигура вращения Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
5. Осевое сечение Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение
6. Осевое сечение Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг
7. Площадь поверхности конуса Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав
8. Площадь поверхности конуса За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбoк боковой
9. Площадь поверхности конуса Sбок = πl2α 360 (1)
10. Площадь поверхности конуса Выразим α через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2πr
11. Площадь поверхности конуса Подставив это выражение в формулу (1), получим Sбок = πrl (2)
12. Площадь поверхности конуса Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на
13. Площадь поверхности конуса Sбок = πr(l+ r)
14. Усеченный конус Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается
15. Усеченный конус Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической
16. Усеченный конус Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к
17. Усеченный конус Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на
18. Усеченный конус ▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1 — одна
19. Sбок = π r * PA - π r 1 * PA = π r(PA 1
20. Отсюда, учитывая, что AA1 =l, находим Sбок = πrl + π(r - r1 ) PA 1
21. PA 1 PA = r 1 r или PA 1 + l Отсюда получаем PA 1
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие конуса
Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую

ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности.

Слайд 3

Понятие конуса
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется

конусом. Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объясните почему).

Ось

Вершина

Образующие

Боковая поверхность

Основание

Слайд 4

Конус – фигура вращения
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг

одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Слайд 5

Осевое сечение
Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через

ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Слайд 6

Осевое сечение
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение

конуса представляет собой круг с центром О и расположенным на оси, конуса. Радиус r1 этого круга равен (ОР/РО1)*r, где r
- радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1.

О1

Слайд 7

Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно

развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

А|

Слайд 8

Площадь поверхности конуса
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Выразим площадь Sбoк боковой поверхности конуса через его образующую I и радиус основания r. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса равна
πl2α
360
Где α – градусная мера дуги АВАI , поэтому

Слайд 9

Площадь поверхности конуса
Sбок =
πl2α
360
(1)

Слайд 10

Площадь поверхности конуса
Выразим α через l и r. Так как длина

дуги ABA' равна 2πr (длине окружности основания конуса), то 2πr = (πl/180)* α, откуда

360 r

Слайд 11

Площадь поверхности конуса
Подставив это выражение в формулу (1), получим
Sбок = πrl
(2)

Слайд 12

Площадь поверхности конуса
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины

длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади SКОН полной поверхности конуса получается формула

Слайд 13

Площадь поверхности конуса
Sбок = πr(l+ r)

Слайд 14

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его

оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса.

О1

Основание

Образующая

Основание

Боковая поверхность

Слайд 15

Усеченный конус
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью,

а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Слайд 16

Усеченный конус
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее

боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции.

Слайд 17

Усеченный конус
Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы

длин окружностей оснований на образующую, т. е.

Sбок = π (r + r1 ) l

Где r и r1 – радиусы оснований, l – образующая усеченного конуса.

Слайд 18

Усеченный конус
▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен

усеченный конус, АА1 — одна из образующих усеченного конуса, r > r1 точки О и О 1 — центры оснований. Используя формулу (2), получаем

О1

Слайд 19

Sбок = π r * PA
- π r 1

* PA =
π r(PA 1 + AA1 )
- π r 1 * PA 1

Слайд 20

Отсюда, учитывая, что AA1 =l, находим
Sбок = πrl + π(r -

r1 ) PA 1

Выразим PA 1 через l, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому

(3)

Слайд 21

PA 1
PA
=
r 1
r
или
PA 1 + l

Отсюда получаем
PA 1
=
r

PA 1

l r 1

r - r 1

Конус. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус

Содержание

Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую

Понятие конуса Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется

Конус – фигура вращения Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг

Осевое сечение Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через

Осевое сечение Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение

Площадь поверхности конуса Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно

Площадь поверхности конуса За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Площадь поверхности конусаSбок =πl2α360(1)

Площадь поверхности конусаВыразим α через l и r. Так как длина

Площадь поверхности конусаПодставив это выражение в формулу (1), получимSбок = πrl(2)

Площадь поверхности конуса Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины

Площадь поверхности конусаSбок = πr(l+ r)

Усеченный конус Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его

Усеченный конус Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью,

Усеченный конус Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее

Усеченный конус Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы

Усеченный конус ▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен

Sбок = π r * PA - π r 1

Отсюда, учитывая, что AA1 =l, находимSбок = πrl + π(r -

PA 1PA =r 1r илиPA 1 + l Отсюда получаемPA 1=r

Похожие презентации

Понятие конуса
Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую

Понятие конуса
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется

Конус – фигура вращения
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг

Осевое сечение
Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через

Осевое сечение
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение

Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно

Площадь поверхности конуса
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Площадь поверхности конуса
Sбок =
πl2α
360
(1)

Площадь поверхности конуса
Выразим α через l и r. Так как длина

Площадь поверхности конуса
Подставив это выражение в формулу (1), получим
Sбок = πrl
(2)

Площадь поверхности конуса
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины

Площадь поверхности конуса
Sбок = πr(l+ r)

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его

Усеченный конус
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью,

Усеченный конус
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее

Усеченный конус
Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы

Усеченный конус
▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен

Sбок = π r * PA
- π r 1

Отсюда, учитывая, что AA1 =l, находим
Sбок = πrl + π(r -

PA 1
PA
=
r 1
r
или
PA 1 + l

Отсюда получаем
PA 1
=
r