Кривые второго порядка на плоскости

Лекция 8.

Кривые второго порядка на плоскости

I. Основные понятия.

где не все коэффициенты А, В, С равны нулю.

Вырожденные кривые второго порядка :

1. пустое множество

2. точка

3. прямая

4.

Всякое уравнение (1), задающее невырожденную
кривую, путём преобразования координат можно

Эллипсом называется кривая второго порядка
с каноническим уравнением

достроив затем остальные части путём зеркального
отражения найденных фрагментов кривой

Характеристики эллипса

1. a – большая полуось; b – малая полуось.

- центр.

- фокусы, где

фокальные расстояния точки М
эллипса.

эксцентриситет эллипса.

директрисы эллипса.

Замечание.

уравнение окружности радиуса R с центром в начале

Вывод.

Замечание.

Последнее высказывание можно использовать как
определение эллипса. Тогда, используя

Гиперболой называется кривая второго порядка с каноническим уравнением

Характеристики гиперболы

1. a – действительная полуось; b – мнимая полуось.

директрисы гиперболы.

основной прямоугольник.

– асимптоты гиперболы (диагонали основного прямоугольника).

Вычислим

Вывод.

Замечание.

Последнее высказывание можно использовать как
определение гиперболы. Тогда, используя

Алгоритм построения чертежа гиперболы.

1. Построение основного прямоугольника.

2. Построение асимптот

Параболой называется кривая второго порядка с
каноническим уравнением
Рассмотрим уравнение параболы

Характеристики параболы.

- вершина.

- Ось симметрии.

- фокус.

фокальный радиус точки параболы.

директриса.

Вывод.

Замечание.

Последнее высказывание можно использовать как
определение параболы. Тогда, используя

Канонические уравнения кривых второго порядка со смещенным центром (вершиной).

Выполним замену

Геометрически:

Пример.

Тип кривой – гипербола со смещенным в точку (-1,1)
центром.

Два признака неканоничности:

Устранение признаков неканоничности:

Геометрически: