Теорема Пифагора

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Теорема Пифагора

Содержание

2. ЦЕЛЬ: знать теорему Пифагора, уметь ее доказывать и приме нять при решении задач ЗАДАЧИ: знать зависимость
3. Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет
4. «В геометрии существуют два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
5. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Геометрическая формулировка: Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе,
6. Шутливая формулировка ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА И. Дырченко Шаржи учеников Если дан нам треугольник И притом с прямым
7. Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 1
8. Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 2 Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна а+с. В
9. Доказательство через равнодополняемость Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Четырёхугольник со сторонами
10. Доказательство через подобные треугольники Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из
11. Доказательство ЕВКЛИДА Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на
12. Доказательство ЛЕОНАРДО да ВИНЧИ Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из
13. Доказательство Эйнштейна Доказательство Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.
14. Несколько интересных доказательств Разбиение ан-Найризия «Колесо с лопостями» «Доказательство Бхаскари» Великий индийский математик подписал к рисунку
15. ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так:
16. Египетский треугольник Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё
17. Пифагоровы тройки В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж) называется кортеж из трёх целых чисел)
18. Задача индийского математика XII века Бхаскары «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его
19. Задача из китайской «Математики в девяти книгах» Задача из китайской «Математики в девяти книгах» «Имеется водоем
20. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя
21. Опорный сигнал к теореме . «Имеется водоем со стороной . Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у
22. Теорема ПИФАГОРА в архитектуре В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами,
23. О теореме ПИФАГОРА Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир ее увидит взор; И
24. «Будь справедлив и в словах и в поступках своих…» ПИФАГОР Пифагор среди учеников
25. Уровень обученности учащихся 8 классов по теме: «Теорема Пифагора»
26. ВЫВОДЫ Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии . Теорема Пифагора триедина:
27. Используемые материалы Википедия http://ru.wikipedia.org/wiki/% wiki.kamgpu.ru portfolio.1september.ru pifagor.edunet.uz http://manuscript.h1.ru/ manuscript.htm?/pyphagor/ theorema/teorpyf.htm
29. Скачать презентацию

Слайд 2

ЦЕЛЬ: знать теорему Пифагора, уметь ее доказывать и приме нять при решении

задач

ЗАДАЧИ:
знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника,
расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками,
воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии.

Слайд 3

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого

названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон.

П И Ф А Г О Р

Слайд 4

«В геометрии существуют два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка

в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Иоганн Кеплер о теореме ПИФАГОРА

Слайд 5

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Геометрическая
формулировка:
Алгебраическая
формулировка:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата,

построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

.В прямоугольном треугольнике
площадь квадрата, построен -
ного на гипотенузе,равна
сумме площадей квадратов,
построенных на катетах

В прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов
длин катетов

Слайд 6

Шутливая формулировка ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
И. Дырченко
Шаржи учеников
Если дан нам треугольник И притом с

прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём.

Слайд 7

Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 1

Слайд 8

Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 2
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона

квадрата равна а+с. В одном случае ( слева ) квадрат разбит на квадрат со стороной в и четыре прямоугольных треугольника с катетами а и с. В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами а и с.Таким образом получаем, что площадь квадрата со стороной в равна сумме площадей квадратов со сторонами а и с.

Слайд 9

Доказательство через равнодополняемость
Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на

рисунке.
Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать.

Слайд 10

Доказательство через подобные треугольники
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом

C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения:
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
или

Слайд 11

Доказательство ЕВКЛИДА
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина

площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.
Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Слайд 12

Доказательство ЛЕОНАРДО да ВИНЧИ
Главные элементы доказательства — симметрия и движение.
Рассмотрим чертёж, как

видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника.

Слайд 13

Доказательство Эйнштейна
Доказательство Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на

гипотенузе, на 8 треугольников.
Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CОMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.
Самостоятельно докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

Слайд 14

Несколько интересных доказательств
Разбиение ан-Найризия «Колесо с лопостями»
«Доказательство Бхаскари»
Великий индийский математик подписал

к рисунку только одно слово: "Смотри".

Слайд 15

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА
Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный

треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E , F , K , L - середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ^ EF , NF ^ EF .

Слайд 16

Египетский треугольник
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью

такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Слайд 17

Пифагоровы тройки
В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж) называется кортеж

из трёх целых чисел) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора:
x2 + y2 = z2.

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Слайд 18

Задача индийского математика XII века Бхаскары
«На берегу реки рос тополь

одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Слайд 19

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

Задача из китайской

«Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Слайд 20

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к

стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Слайд 21

Опорный сигнал к теореме
.
«Имеется водоем со стороной
.
Отрубил Иван-царевич дракону

голову, а у него две новые выросли.
На математическом языке это означает: провели в D АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC .

Слайд 22

Теорема ПИФАГОРА в архитектуре
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части

окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

Слайд 23

О теореме ПИФАГОРА
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир

ее увидит взор;
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

А. фон Шамиссо (Перевод А. Хованского)

Слайд 24

«Будь справедлив и в словах и в поступках своих…»
ПИФАГОР
Пифагор

среди учеников

Слайд 25

Уровень обученности учащихся 8 классов по теме: «Теорема Пифагора»

Слайд 26

ВЫВОДЫ
Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии

.
Теорема Пифагора триедина: это простота – красота –значимость.
Мы познакомились с некоторыми доказательствами теоремы Пифагора. В настоящее время известно более 100 различных доказательств этой знаменитой теоремы.
Есть доказательства, которые расчитаны на то, что по готовым рисункам, можно воспроизвести доказательство самостоятельно. А это воспитывает познавательный интерес и логическое мышление.
До сих пор вызывают интерес
древние практические задачи,
говорящие об уровне развития
прикладной математики в древ-
ние века.

Слайд 27

Используемые материалы
Википедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/%
wiki.kamgpu.ru
portfolio.1september.ru
pifagor.edunet.uz
http://manuscript.h1.ru/
manuscript.htm?/pyphagor/
theorema/teorpyf.htm

Теорема Пифагора

Содержание

ЦЕЛЬ: знать теорему Пифагора, уметь ее доказывать и приме нять при решении

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого

«В геометрии существуют два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка

ТЕОРЕМА ПИФАГОРАТЕОРЕМА ПИФАГОРАГеометрическая формулировка: Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата,

Шутливая формулировка ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРАИ. ДырченкоШаржи учениковЕсли дан нам треугольник И притом с

Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 1

Самое простое доказательство теоремы ПИФАГОРА 2Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона

Доказательство через равнодополняемостьРасположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на

Доказательство через подобные треугольникиПусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом

Доказательство ЕВКЛИДАИдея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина

Доказательство ЛЕОНАРДО да ВИНЧИГлавные элементы доказательства — симметрия и движение.Рассмотрим чертёж, как

Доказательство ЭйнштейнаДоказательство Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на

Несколько интересных доказательствРазбиение ан-Найризия «Колесо с лопостями»«Доказательство Бхаскари»Великий индийский математик подписал

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный

Египетский треугольникЕгипетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью

Пифагоровы тройкиВ математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж) называется кортеж

Задача индийского математика XII века Бхаскары «На берегу реки рос тополь

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» Задача из китайской

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого «Случися некому человеку к

Опорный сигнал к теореме. «Имеется водоем со стороной. Отрубил Иван-царевич дракону

Теорема ПИФАГОРА в архитектуреВ зданиях готического и ромaнского стиля верхние части

О теореме ПИФАГОРАУделом истины не может быть забвенье, Как только мир

«Будь справедлив и в словах и в поступках своих…» ПИФАГОРПифагор