Квадратные уравнения

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Квадратные уравнения

Содержание

2. Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где а,
3. Коэффициенты квадратного уравнения Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. ах2 + bx +
4. Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен
5. Виды неполных квадратных уравнений и их корни ах2 + c = 0, где с ≠ 0.
6. Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах2 + bx = 0, где b ≠
7. Виды неполных квадратных уравнений и их корни 3. ах2 = 0 Имеем единственный корень х =
8. Метод выделения полного квадрата Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0. Решение. х2 +
9. Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 можно найти
10. Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных
11. Формула корней квадратного уравнения 2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень: х2 - 4x
12. Формула корней квадратного уравнения 3. D Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует .
13. Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то корни уравнения ах2 +
14. Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х2 + 18x + 32 =
15. Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнения 2. 3х2 + 2x + 1 =
16. Приведенное квадратное уравнение Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 + px + q =
17. Формула корней приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0. х2 - x -
18. Теорема Виета Теорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px +
19. Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения
20. Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа х1, х2, р и q связаны условиями х1 +
21. Квадратный трехчлен Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx + c, где а, b,
22. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а
23. Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен
24. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Схема решения: Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе
25. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2). Умножим на него обе
26. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3) . Тогда: 2х –
27. Биквадратные уравнения Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0, где а ≠ 0, b
28. Решение уравнений методом замены неизвестного Нет корней Ответ: 43.
29. Модуль Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой.
30. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля | х2 - 2х - 39| = 24. х2 -
31. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля 9х2 - = 0. x > 0, x 9х2 -
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ах2 + bx + c =

0,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – неизвестное.
3х2 - 2x + 7 = 0; -3,8х2 + 67 = 0;
18х2 = 0 .
Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.

Слайд 3

Коэффициенты квадратного уравнения
Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
ах2

+ bx + c = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член
3х2 + 4x - 8 = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член

Слайд 4

Неполное квадратное уравнение
Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из

коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным.
-11х2 = 0;
5х2 + 13х = 0;
-24х2 +1 = 0.

Слайд 5

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
ах2 + c =

0, где с ≠ 0.
Тогда
Если ,то корни
.
а)
б) -х2-4 = 0 х2 = -4 нет корней.

Если ,
то корней нет .

Слайд 6

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
2. ах2 + bx

= 0, где b ≠ 0.
Тогда x ∙ (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = .
а) 2х2 + 7x = 0 x ∙ (2x +7) = 0
х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х = .
Ответ: 0 и -3,5.
б) -х2 + 5x = 0 -x ∙ (x - 5) = 0 х = 0 или х = 5.
Ответ: 0 и 5.

Слайд 7

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
3. ах2 = 0
Имеем единственный

корень х = 0 .
128х2 = 0 х2 = 0 х = 0.
-3,8х2 = 0 х2 = 0 х = 0.

Слайд 8

Метод выделения полного квадрата
Решить уравнение х2 + 14x + 24 =

0.
Решение.
х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 =
= (х + 7)2 – 25.
(х + 7)2 – 25 = 0,
(х + 7)2 = 25.
х + 7 = -5 или х + 7 = 5.
х1 = -12; х2 = -2.
Ответ: -12; -2.

Слайд 9

Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения ах2 + bx +

c = 0
можно найти по формуле
, где D = b2 – 4ac -
дискриминант квадратного уравнения.

Слайд 10

Формула корней квадратного уравнения
Возможны 3 случая:
1. D > 0.
Тогда уравнение

имеет 2 различных корня:
, .
2х2 + 7x - 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 – 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 81 > 0,

Слайд 11

Формула корней квадратного уравнения
2. D = 0.
Тогда уравнение имеет единственный

корень:
х2 - 4x + 4 = 0.
D = (-4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0, .

Слайд 12

Формула корней квадратного уравнения
3. D < 0.
Тогда уравнение не имеет

корней,
т. к. не существует .
3х2 - x + 7 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙ 3 ∙ 7 = -83 < 0,
значит корней нет.

Слайд 13

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Если b = 2k, то

корни уравнения
ах2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле
,
где .

Слайд 14

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнение
1. х2 + 18x

+ 32 = 0.
а = 1; b = 18 k = b : 2 = 9; c = 32.
D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 ∙ 32 = 49 > 0,
значит уравнение имеет 2 корня:

Слайд 15

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнения
2. 3х2 + 2x

+ 1 = 0.
а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1.
D1 = D : 4 = 12 – 1 ∙ 3 = -2 < 0,
значит корней нет.
3. 196х2 - 28x + 1 = 0.
а = 196; b = -28 k = b : 2 = -14; c = 1.
D1 = D : 4 = (-14)2 – 196 = 0,
значит уравнение имеет 1 корень .

Слайд 16

Приведенное квадратное уравнение
Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 +

px + q = 0.
х2 + 14x + 24 = 0.
Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент.
5х2 + 3x - 2 = 0 х2 + 0,6x – 0,4 = 0.

Слайд 17

Формула корней приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.
х2

- x - 6 = 0.
p = -1, q = -6,

Слайд 18

Теорема Виета
Теорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

х2 + px + q = 0, то
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 - 2x - 3 = 0.
р = -2, q = -3.
х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р,
х1 ∙ х2 = -1 ∙ 3 = q.

формулы Виета

Слайд 19

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида
Теорема. Если х1 и х2

– корни квадратного уравнения а х2 + bx + c = 0, то
х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 - 7x + 6 = 0.
х1 + х2 = 3,5,
х1 ∙ х2 = 3.

Слайд 20

Теорема, обратная теореме Виета
Теорема. Если числа х1, х2, р и q

связаны условиями
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0.
Составим квадратное уравнение по его корням
Искомое уравнение имеет вид х2 - 4x + 1 = 0.

Слайд 21

Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx +

c,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – переменная.
3х2 - 2x + 7;
Корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c – это корни уравнения а х2 + bx + c = 0 .

Слайд 22

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема. Если х1 и х2 –

корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c, то
а х2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2 ).
Разложить на множители 12 х2 - 5x - 2.
- корни уравнения 12 х2 - 5x – 2= 0.
Значит 12 х2 - 5x – 2 =

Слайд 23

Неприводимый многочлен
Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет

корней, то соответствующий многочлен
(со старшим коэффициентом 1)
называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).
Квадратный трехчлен 5х2 + 3x + 2 не имеет корней.
Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х2 + 3x + 2 =5(х2 + 0,6x + 0,4).

Слайд 24

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Схема решения:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в

уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.
Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Слайд 25

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе

Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2).
Умножим

на него обе части уравнения:
t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1∙(t + 1)(t – 2)
t2 – 2t – t2 – 3t – 2 = t2 – t – 2
t2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0 t1 = 0, t2 = -4.
Ни одно из чисел не обращает в нуль
общий знаменатель.
Ответ: 0; -4.

Слайд 26

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе

Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3)

. Тогда:
2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х2 – 8х + 15 = 0
х1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0.
х2 = 5 – корень.
Ответ: 5.

Слайд 27

Биквадратные уравнения
Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0,
где

а ≠ 0, b и с - заданные числа, называется биквадратным.
9х4 + 17х2 - 2 = 0
Заменой х2 = t сводится к квадратному уравнению.
9t2 + 17t - 2 = 0
Ответ: .

Нет корней

или

Слайд 28

Решение уравнений методом замены неизвестного
Нет корней
Ответ: 43.

Слайд 29

Модуль
Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки

х на координатной прямой.
|x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6.
а, если а > 0
|а| = -а, если а < 0
0, если а = 0

Слайд 30

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
| х2 - 2х - 39|

= 24.
х2 - 2х - 39 = 24 х2 - 2х - 39 = -24
х1 = 9; х2 = -7 х3 = -3; х4 = 5.
Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.

Слайд 31

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
9х2 - = 0.
x > 0, x

< 0,
9х2 - = 0 9х2 - = 0.
x > 0, x < 0,
9х2 – 1 = 0 9х2 + 1 = 0.
нет решений
Ответ: .

Квадратные уравнения

Содержание

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называетсяуравнение вида ах2 + bx + c =

Коэффициенты квадратного уравненияЧисла а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.ах2

Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из

Виды неполных квадратных уравнений и их корни ах2 + c =

Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах2 + bx

Виды неполных квадратных уравнений и их корни3. ах2 = 0Имеем единственный

Метод выделения полного квадрата Решить уравнение х2 + 14x + 24 =

Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах2 + bx +

Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая:1. D > 0. Тогда уравнение

Формула корней квадратного уравнения2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный

Формула корней квадратного уравнения3. D < 0. Тогда уравнение не имеет

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентомРешить уравнение1. х2 + 18x

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентомРешить уравнения2. 3х2 + 2x

Приведенное квадратное уравнениеПриведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 +

Формула корней приведенного квадратного уравнениях2 + px + q = 0.х2

Теорема ВиетаТеорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

Теорема Виета для квадратного уравнения общего видаТеорема. Если х1 и х2

Теорема, обратная теореме ВиетаТеорема. Если числа х1, х2, р и q

Квадратный трехчлен Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx +

Разложение квадратного трехчлена на линейные множителиТеорема. Если х1 и х2 –

Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Схема решения:Найти общий знаменатель дробей, входящих в

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2).Умножим

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3)

Биквадратные уравненияУравнение вида ах4 + bx2 + c = 0, где

Решение уравнений методом замены неизвестногоНет корней Ответ: 43.

Модуль Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля| х2 - 2х - 39|

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля9х2 - = 0. x > 0, x

Похожие презентации