Лекция 6. Численное интегрирование функций

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Лекция 6. Численное интегрирование функций

Содержание

2. Численное интегрирование функций Подходы: замена исходной функции f (x) (заданной таблично или аналитически) интерполирующим полиномом P(x)
3. Вероятностные (статистические) методы Пример: задан шар Соотношение объёмов шара и куба, в который вписан шар:
4. Вероятностные (статистические) методы В пределе Тогда
5. Методы с подбором узлов На отрезке [–1,1] При переходе к отрезку [a, b] имеем
6. Интегрирование интерполирующих полиномов При замене f (x) интерполирующим полиномом
7. Интегрирование интерполирующих полиномов При замене f (x) интерполирующим полиномом
8. Интегрирование интерполирующих полиномов Формулы прямоугольников: левосторонних; правосторонних; центральных.
9. Формула левосторонних прямоугольников На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1, Pi(x) = yi. Получаем: Для равномерной
10. Формула левосторонних прямоугольников
11. Формула правосторонних прямоугольников На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1, Pi(x) = yi+1. Получаем: Для равномерной
12. Формула правосторонних прямоугольников
13. Формула центральных прямоугольников На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1, Получаем:
14. Формула трапеций На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1,
15. Формула трапеций На отрезке [a, b] Для равномерной сетки
16. Формула трапеций
17. Квадратурные формулы Вспомним формулу Выполним подстановку:
18. Квадратурные формулы Если предположить, что cij = yip+j⋅Cij, то где Aij – квадратурные коэффициенты. Тогда
19. Квадратурные формулы Если Pi(x) = Lp,i(x), т.е. то
20. Квадратурные формулы Тогда Для p = 1 имеем:
21. Квадратурные формулы Интегрируем:
22. Квадратурные формулы В итоге Получили формулу трапеций.
23. Квадратурные формулы Для p = 2 имеем:
24. Квадратурные формулы Интегрируем: и т.д.
25. Квадратурные формулы В итоге получим: Это формула Симпсона:
26. Квадратурные формулы Для отрезка [a, b]
27. Квадратурные формулы Если сетка равномерная, то т.е. коэффициенты Aj не зависят от индекса i. Для отрезка
28. Квадратурные формулы Интерполирующий полином т.е.
29. Квадратурные формулы Тогда
30. Коэффициенты Ньютона-Котеса В случае равномерной сетки положим Здесь Hi – коэффициенты Ньютона-Котеса. Т.е.
31. Коэффициенты Ньютона-Котеса Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса:
32. Примеры n = 6
33. Примеры Левосторонние прямоугольники:
34. Примеры Правосторонние прямоугольники:
35. Примеры Трапеции:
36. Примеры Формула Симпсона:
37. Примеры Формула Симпсона:
39. Скачать презентацию

Слайд 2

Численное интегрирование функций
Подходы:
замена исходной функции f (x) (заданной таблично или аналитически)

интерполирующим полиномом P(x) с известной первообразной;
подбор оптимальных узлов интегрирования при аналитически заданной функции f (x);
вероятностные или статистические методы.

Слайд 3

Вероятностные (статистические) методы
Пример: задан шар
Соотношение объёмов шара и куба, в который

вписан шар:

Слайд 4

Вероятностные (статистические) методы
В пределе
Тогда

Слайд 5

Методы с подбором узлов
На отрезке [–1,1]
При переходе к отрезку [a, b]

имеем

Слайд 6

Интегрирование интерполирующих полиномов
При замене f (x) интерполирующим полиномом

Слайд 7

Интегрирование интерполирующих полиномов
При замене f (x) интерполирующим полиномом

Слайд 8

Интегрирование интерполирующих полиномов
Формулы прямоугольников:
левосторонних;
правосторонних;
центральных.

Слайд 9

Формула левосторонних прямоугольников
На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1, Pi(x) =

yi. Получаем:
Для равномерной сетки

Слайд 10

Формула левосторонних прямоугольников

Слайд 11

Формула правосторонних прямоугольников
На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1, Pi(x) =

yi+1. Получаем:
Для равномерной сетки

Слайд 12

Формула правосторонних прямоугольников

Слайд 13

Формула центральных прямоугольников
На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1,
Получаем:

Слайд 14

Формула трапеций
На отрезке [xi, xi+1] полагаем p =1,

Слайд 15

Формула трапеций
На отрезке [a, b]
Для равномерной сетки

Слайд 16

Формула трапеций

Слайд 17

Квадратурные формулы
Вспомним формулу
Выполним подстановку:

Слайд 18

Квадратурные формулы
Если предположить, что cij = yip+j⋅Cij, то
где Aij – квадратурные

коэффициенты. Тогда

Слайд 19

Квадратурные формулы
Если Pi(x) = Lp,i(x), т.е.
то

Слайд 20

Квадратурные формулы
Тогда
Для p = 1 имеем:

Слайд 21

Квадратурные формулы
Интегрируем:

Слайд 22

Квадратурные формулы
В итоге
Получили формулу трапеций.

Слайд 23

Квадратурные формулы
Для p = 2 имеем:

Слайд 24

Квадратурные формулы
Интегрируем:
и т.д.

Слайд 25

Квадратурные формулы
В итоге получим:
Это формула Симпсона:

Слайд 26

Квадратурные формулы
Для отрезка [a, b]

Слайд 27

Квадратурные формулы
Если сетка равномерная, то
т.е. коэффициенты Aj не зависят от индекса

i. Для отрезка [a, b]

Слайд 28

Квадратурные формулы
Интерполирующий полином
т.е.

Слайд 29

Квадратурные формулы
Тогда

Слайд 30

Коэффициенты Ньютона-Котеса
В случае равномерной сетки положим
Здесь Hi – коэффициенты Ньютона-Котеса. Т.е.

Слайд 31

Коэффициенты Ньютона-Котеса
Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса:

Слайд 32

Примеры
n = 6

Слайд 33

Примеры
Левосторонние прямоугольники:

Слайд 34

Примеры
Правосторонние прямоугольники:

Слайд 35

Примеры
Трапеции:

Слайд 36

Примеры
Формула Симпсона:

Слайд 37

Примеры
Формула Симпсона: