Линейная алгебра

элементов и имеющая m строк и n столбцов.

Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т.д.

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами.

Размерность матрицы обозначается:

количество строк

количество столбцов

главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е):

Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.

определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы.

Определитель любой единичной матрицы равен единице.

Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная.

для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются.

Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.

когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует.

не действует переместительный закон:

иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.

5)

Единичная матрица является коммутативной для любой квадратной матрицы того же порядка:

6)

Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение определителей равно определителю произведения .

согласно определению: АА-1=А-1А=Е.

Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная матрица не существует

Транспонированная матрица получается из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами

Присоединенная матрица получается путем замены каждого элемента матрицы Ат на его алгебраическое дополнение

3 столбца

-2

2

-1

2

-2

2

-4

6

-6

примере решения квадратной системы 3 порядка.

Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:

Основная матрица системы

Матрица - столбец неизвестных

Матрица - столбец свободных членов

решение системы в матричном виде.

Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно, существует обратная матрица А-1.

Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:

Метод обратной матрицы применим для решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.