Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6

Август 31, 2022

Главная
Математика
Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6

Содержание

2. Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если , то характеристическое
3. Продолжение Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни . Частные решения ЛОУ выбираем
4. Продолжение Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и , где и
5. Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения 1. Если , то 2.
6. Пример Найти общее решение уравнения . Составим характеристическое уравнение . Его корни действительны и различны: .
7. Пример Решить уравнение y′′+4y′+4y =0. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня , поэтому искомое общее решение
8. Пример Решить уравнение y′′+4y′+13y =0. Составим характеристическое уравнение . Корни этого уравнения комплексно-сопряженные. Общее решение исходного
9. Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка Общее решение уравнения y′′+py′+qy = f(x),
10. Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом неопределенных коэффициентов 1. Пусть . Тогда частное
11. Продолжение 2. Пусть , где -заданный многочлен . Тогда частное решение уравнения ищут в виде: а)если
12. В правой части уравнения-многочлен 1.Пусть , где -заданный многочлен. Это частный случай при =0. Тогда а)если
13. В правой части уравнения-тригонометрический полином 5. Пусть где степени многочленов и вообще говоря различны. Тогда а)если
14. Продолжение б)если , то частное решение ищут в виде: Пример: указать вид частного решения уравнения .
15. Решить уравнение . . Корни этого уравнения действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
Случай

1. Если , то
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня
В этом случае общее решение имеет вид
.

Слайд 3

Продолжение

Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые

корни .
Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми:
и .
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид .

Слайд 4

Продолжение
Случай 3. Если , то
характеристическое уравнение имеет два

комплексно-сопряженных корня
и , где
и .
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать
в виде

Слайд 5

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения

1. Если , то
2. Если , то
3. Если , то
4. Если , то

Слайд 6

Пример
Найти общее решение уравнения
.
Составим характеристическое уравнение . Его

корни действительны и различны: . Поэтому общее решение

Слайд 7

Пример
Решить уравнение y′′+4y′+4y =0. Характеристическое уравнение
имеет два кратных

корня , поэтому искомое общее решение
.

Слайд 8

Пример
Решить уравнение y′′+4y′+13y =0.
Составим характеристическое уравнение . Корни этого

уравнения
комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения:
.

Слайд 9

Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка
Общее

решение уравнения
y′′+py′+qy = f(x),
где p и q постоянные, а f(x)≠0 , равно сумме общего решения однородного уравнения y′′+py′+qy =0
и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т. е.
.

Слайд 10

Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом неопределенных коэффициентов

1. Пусть . Тогда частное решение ищут в виде:
а)если , то
б)если , то
в)если , то

Слайд 11

Продолжение
2. Пусть , где -заданный многочлен . Тогда частное решение

уравнения ищут в виде:
а)если , то
б)если , то
в)если , то , где =
-многочлен с неопределенными коэффициентами.

Слайд 12

В правой части уравнения-многочлен
1.Пусть , где -заданный многочлен. Это частный

случай при =0. Тогда
а)если , то
б)если , то
в)если , то

Слайд 13

В правой части уравнения-тригонометрический полином
5. Пусть
где степени многочленов

и
вообще говоря различны. Тогда
а)если , то частное решение ищут в виде
где степени многочленов и
равны .

Слайд 14

Продолжение
б)если , то частное решение ищут в виде:
Пример: указать

вид частного решения уравнения .
Характеристическое уравнение
имеет:Д=-16 и корни
, а решение имеет вид

Слайд 15

Решить уравнение .
. Корни этого уравнения
действительны и различны,

поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .
Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: .

Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6

Содержание

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай

Продолжение Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые

Продолжение Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения

Пример Найти общее решение уравнения . Составим характеристическое уравнение . Его

Пример Решить уравнение y′′+4y′+4y =0. Характеристическое уравнение имеет два кратных

Пример Решить уравнение y′′+4y′+13y =0. Составим характеристическое уравнение . Корни этого

Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка Общее

Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом неопределенных коэффициентов

Продолжение 2. Пусть , где -заданный многочлен . Тогда частное решение

В правой части уравнения-многочлен 1.Пусть , где -заданный многочлен. Это частный

В правой части уравнения-тригонометрический полином 5. Пусть где степени многочленов

Продолжение б)если , то частное решение ищут в виде: Пример: указать

Решить уравнение . . Корни этого уравнения действительны и различны,

Похожие презентации