Логарифмическая и обратные тригонометрические функции комплексного переменного

Поскольку

В рассматриваемом случае

Где

-число действительное и положительное.

-известный из курса математики логарифм действительной величины.

Ввиду многозначности аргумента логарифм является многозначной функцией, действительная часть которого

определяется однозначно,

В полученной формуле главное значение логарифма будет при к=0.
Если z=x –

Будем обозначать

главное значение логарифма

ПРИМЕРЫ.

Вычислить

1

2

3

4

5

6

РЕШЕНИЕ.

1

2

3

4

5

6

Обобщим свойства логарифма на случай комплексного аргумента:

1

2

3

4

По определению логарифмической функции

для любого комплексного числа

Тогда

Поскольку логарифм –

ПРИМЕРЫ.

Вычислить

1

2

РЕШЕНИЕ.

1

Главное значение

2

Определим обратные тригонометрические функции.

Если

то число w называется арксинусом числа

Если

то число w называется арккосинусом числа z и обозначается

Если

Если

то число w называется арккотангенсом числа z и обозначается

Если

то

Обозначим

Решаем это квадратное уравнение:

Т.к. логарифм многозначен, а корень – двухзначен, то арксинус тоже будет

Но поскольку

то все значения логарифма числа, модуль которого равен 1,

Если

то

Если z – действительное число, то числа

будут сопряженными с одинаковыми модулями.

Тогда все значения логарифма будут чисто мнимыми. Поскольку стоит множитель

То значения

ПРИМЕРЫ.

Вычислить

1

2

РЕШЕНИЕ.

1