Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. (Лекция 2-3)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. (Лекция 2-3)

Содержание

2. Просуммируем массу всех элементарных объемов Выражение в правой части называется интегральной суммой. Устремим наибольший диаметр элементарных
3. Вообще, тройным интегралом от функции по объему называется предел интегральной суммы Свойства двойных интегралов переносятся на
4. 4) Если ∀(x,y,z)∈V то 5) Если то где 6) - среднее значение f в области V.
5. 10.2. Вычисление тройных интегралов. 1) Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл Разобьем область интегрирования на элементарные
6. Установим правило вычисления тройного интеграла
7. Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной плоскостями: и Построим область интегрирования:
8. 2) Цилиндрические координаты. Замена переменных в тройном интеграле производится на тех же принципах, что и в
9. Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями Перейдем к цилиндрическим координатам: Уравнение параболоида примет вид:
10. 3) Сферические координаты. Якобиан преобразования вычисляется по формуле Тройной интеграл в сферических координатах примет вид
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Просуммируем массу всех элементарных объемов
Выражение в правой части называется

интегральной суммой. Устремим наибольший диаметр элементарных объемов к нулю и рассмотрим предел
Если этот предел интегральной суммы существует,
то, очевидно, он равен массе тела и называется
тройным интегралом от функции по
объему

Слайд 3

Вообще, тройным интегралом от функции по объему называется предел интегральной суммы
Свойства двойных

интегралов переносятся на
тройные интегралы:
1)
2)
Тогда

Слайд 4

4) Если ∀(x,y,z)∈V
то
5) Если
то
где
6)

- среднее значение f в области V.

Слайд 5

10.2. Вычисление тройных интегралов. 1) Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл
Разобьем

область интегрирования на элементарные объемы плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда элементарный объем равен Следовательно

Слайд 6

Установим правило вычисления тройного интеграла

Слайд 7

Пример. Вычислить тройной интеграл
по области, ограниченной плоскостями:
и
Построим область интегрирования:

Слайд 8

2) Цилиндрические координаты.
Замена переменных в тройном интеграле
производится на тех же принципах,

что и в
двойном интеграле.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет
вид

Слайд 9

Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями
Перейдем к цилиндрическим координатам:

Уравнение параболоида примет вид:
Уравнение сферы примет вид:
Линией пересечения поверхностей является окружность
радиуса
Переменные изменяются в следующих пределах:
Интеграл запишется в виде:

Слайд 10

3) Сферические координаты.
Якобиан преобразования
вычисляется по формуле
Тройной интеграл в
сферических
координатах

примет вид