Содержание
- 2. В России эта ступень подготовки введена в 1993 году. С 31 декабря 2010 года «бакалавр» и
- 3. АКАДЕМИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ «БАКАЛАВР»
- 4. Образовательная программа — согласно Федеральному закону № 273 от 29 декабря 2012 года «Об образовании в
- 5. ЛИТЕРАТУРА В.Ф. Пономарев. Математическая логика. Часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие – Калининград: КГТУ,
- 6. РОЛЬ И МЕСТО ЛОГИКИ В МЫШЛЕНИИ, В НАУКЕ, В МАТЕМАТИКЕ И В ОБУЧЕНИИ Логическое (дедуктивное) мышление
- 7. ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ Логика (от греч. λογοζ (логос, смысл, слово, понятие) – наука о способах доказательств или
- 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Готфрид Лейбниц заложил основы математической логики. Он пытался построить первые логические исчисления (свести логику
- 9. Математическая логика включает: теорию моделей, теорию доказательств и теория алгоритмов. Теория моделей — изучает фундаментальные взаимосвязи
- 10. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Алгебра высказываний (логики) – раздел теории доказательств, изучающий высказывания и логические операции над ними.
- 11. ВЫСКАЗЫВАНИЯ Например, предложение: «З - простое число» является истинным, «3.14… - рациональное число" является ложным; "Колумб
- 12. Пример: если A1 := “3 - простое число”, то A1 = и; если A2 := “3
- 13. Высказывания, которые формируют из простых предложений с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если … ,
- 14. Пример: если высказывание: “3 – вещественное и целое число”, то формула (A1&A2) = и; если высказывание:
- 15. Правила построения сложных высказываний в виде последовательности пропозициональных переменных, логических связок и вспомогательных символов определяют возможность
- 16. Совокупность пропозициональных переменных T = {A, B, C,…} и логических операций F = { ⎤, &,
- 17. Логические операции бывают унарными (одноместными) и бинарными (двухместными). Это определяется наличием одного или двух операндов. Результаты
- 18. Конъюнкция (F1 & F2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают
- 19. Дизъюнкция (F1∨F2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу
- 20. Следует обратить внимание, что в повседневной речи союз “или” употребляется в двух смыслах: “исключающее или”, когда
- 21. Импликация (F1→F2) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F
- 22. Эквиваленция (F1↔F2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу
- 23. Пример: даны высказывания A := “выполнить загрузку в компьютер операционной системы” и B := “установить в
- 24. ПРАВИЛА ЗАПИСИ СЛОЖНЫХ ФОРМУЛ Для определения истинности суждения необходимо анализировать значение истинности каждого элементарного высказывания и
- 25. F = (A→(B∨C))&(B→D)&((D&A) → ⎤C). В 12-ом столбце таблицы выделены те строки, в которых формула имеет
- 26. Пример: суждение: “Если цены высокие (A), то и заработная плата должна быть также высокой (B). Цены
- 27. Выделенная четырнадцатая строка таблицы показывает, при каких значениях A, B, C и D истинны посылки и
- 28. Пример: суждение “если курс ценных бумаг возрастет (A) или процентная ставка снизится (B), то курс акций
- 29. Выделенные строки таблицы показывают, при каких значениях A, B, C и D истинны посылки и заключение.
- 30. каждое вхождение логической связки “⎤” относится к пропозициональной переменной или формуле, следующей непосредственно за логической связкой
- 31. Пример. Пусть дана формула F = (((F1∨(⎤F2))→F3)↔F4). 1. Убрать внешние скобки для формулы, так как они
- 32. Две формулы F1 и F2 называются равносильными, если они имеют одинаковое значение “и” или “л” при
- 33. ТАБЛИЦА ЗАКОНОВ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
- 34. Пример: F1∨(F1&F2) = F1 Сравните значения логических функций в третьем и четвертом столбцах. Так можно проверить
- 35. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМУЛ Знание законов алгебры высказываний позволяет выполнять эквивалентные преобразования любых логических формул, сохраняя их
- 36. Пример: F1↔F2 = ⎤F1&⎤F2∨F1&F2 = ⎤(⎤(⎤F1&⎤F2)&⎤(F1&F2)). Сравните значения логических функций в третьем, шестом и восьмом столбцах.
- 37. Выполненные примеры показывают, что всякую формулу алгебры логики можно заместить равносильной ей формулой, содержащей вместо импликации
- 38. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМУЛ ПРАВИЛА ЗАМЕНЫ И ПОДСТАНОВКИ Правило замены. Если формула F содержит подформулу Fi, то
- 39. Пример: Дано F =⎤(F1→F2)&(⎤F3∨⎤F4)∨⎤(F1∨F2)&⎤(F3&F4). Выполнить эквивалентные преобразования для упрощения алгебраического выражения. Преобразования: 1) Удалить логическую связку
- 40. Пример: Дано суждение "или верно, что Петр поступил в университет (А), и при этом неверно, что
- 41. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Определение исчисления высказываний, как и любой формальной системы, следует начинать с задания множества аксиом
- 42. Если дана некоторая формула F и каждой ее пропозициональной переменной приписано значение "и" или "л", то
- 43. F = ((A→B)&(A→C)→(A→(B&C)) Формула принадлежит классу тождественно истинных формул (см. столбец 9). ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛ Какому классу
- 44. F=A& (⎤B∨⎤C) &(A→B) & (A→C) Формула принадлежит классу тождественно ложных формул (см. столбец 9). ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛ
- 45. АКСИОМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Множество формул, удовлетворяющих условиям тождественной истинности, бесконечно. Однако в качестве аксиом всегда выбирают
- 46. А2. (F1→ F2)→(( F1→( F2→ F3))→( F1→ F3)) А8. (F1→ F3)→(( F2 → F3)→(( F1 ∨
- 47. ПРАВИЛА ВЫВОДА Выводом формулы В из множества формул F1 , F2 ,. . ., Fn называется
- 48. ПРАВИЛА ПОДСТАНОВКИ
- 49. Пример: пусть даны формулы F = A&C → A и B = C → ⎤A. Проверим
- 50. П1. Если посылки F1 и F2 имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е. Эта
- 51. П3. Если F1 имеет значение “и”, а (F1&F2) – “л”, то ложной является подформулы F2, т.е.
- 52. П5. Еесли (F1∨F2) имеет значение “и” и одна из подформул F1 или F2 имеет значение “л”,
- 53. П7. Если подформула F1 имеет значение “л”, то истинной является формула (F1→F2) при любом значении подформулы
- 54. П9. Если формула (F1→F2) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F1∨F3)→(F2∨F3) при любом значении F3,
- 55. П11. Если формулы (F1→F2) и (F2→F3) имеют значение “и”, то истинной является формула (F1→F3), т.е. Эта
- 56. П13. Если формулы ⎤F2 и (F1→F2) имеют значение “и”, то истинной является формула ⎤F1, т.е. Эта
- 57. П15. Если формула (F1↔F2) имеет значение “и”, то истинными являются формулы (F1→F2) и (F2→F1), т.е. Эта
- 58. ПРАВИЛА ЗАКЛЮЧЕНИЯ а) если Fi и ( Fi → Fj ) есть выводимые формулы, то Fj
- 59. Пример: суждение: “Сумма внутренних углов многоугольника равна 180о (А). Если сумма внутренних углов многоугольника равна 180о
- 60. МЕТОД ДЕДУКТИВНОГО ВЫВОДА Теорема F1, F2 ,..., Fn |⎯ В равносильна доказательству |⎯ (F1&F2&...&Fn→B ). Если
- 61. Пример. Дано cуждение: “Всякое общественноопасное деяние (А) наказуемо (В). Преступление (С) есть общественно опасное деяние (А).
- 62. Пример. “Если Петров не трус (A), то он поступит в соответствие с собственными убеждениями (B). Если
- 63. Пример. Доказать истинность заключения 1) F1=(A→C) поcылка; 2) F2=(A∨B)→(C∨B) заключение по формуле F1 и правилу 9;
- 64. Пример: Доказать истинность заключения : 1) F1=((⎤ D)&(⎤ N)) посылка; 2) F2=⎤N заключение по формуле F1
- 65. МЕТОД ДЕДУКТИВНОГО ВЫВОДА
- 66. Алгебра, использующая операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания над множеством, элементы которого принимают значения из множества {0,
- 67. БУЛЕВЫ ОПЕРАЦИИ Дизъюнкция (x1∨x2) есть бинарная операция, значение которой равно 0 в том и только в
- 68. БУЛЕВЫ ОПЕРАЦИИ Конъюнкция (x1⋅x2) есть бинарная операция, значение которой равно 1 в том и только в
- 69. БУЛЕВЫ ОПЕРАЦИИ Отрицание x есть унарная операция, значение которой противоположно значению операнда. Схема операции имеет вид:
- 70. ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ Аксиомы общей алгебры формируют законы булевой алгебры: коммутативности: xi∨xj = xj∨xi и xi⋅xj
- 71. ФОРМУЛА БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ Функцию y = f(x1, x2,..xn), значение которой и значения компонент аргумента принадлежат множеству
- 72. ФОРМУЛА БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ Для описания функции формулами используют два правила: подстановки и замещения. Пусть даны равносильные
- 73. ОПИСАНИЕ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ При табличном описании булевой функции необходимо для каждого набора двоичных переменных булевого вектора
- 75. Скачать презентацию