Математическая обработка результатов измерений

Содержание

Слайд 2

Расхождение между истинным значением определяемой величины и полученным результатом измерения носит название погрешности измерения (ошибки измерения).

Расхождение между истинным значением определяемой величины и полученным результатом измерения носит

название погрешности измерения (ошибки измерения).
Слайд 3

1. Виды погрешностей

1. Виды погрешностей

Слайд 4

1. Систематические погрешности - это погрешности, вызванные каким-либо постоянным воздействием, которое во время измерения нельзя устранить.

1. Систематические погрешности -

это погрешности, вызванные каким-либо постоянным воздействием, которое во

время измерения нельзя устранить.
Слайд 5

ПРИЧИНА постоянно действующий фактор, не изменяющийся от измерения к измерению.

ПРИЧИНА

постоянно действующий фактор, не изменяющийся от измерения к измерению.

Слайд 6

УСТРАНЕНИЕ: сверка с эталонами, исправление прибора и, в целом, устранение известного

УСТРАНЕНИЕ:

сверка с эталонами, исправление прибора и, в целом, устранение известного мешающего фактора.


Главная палата мер, весов и часов

Слайд 7

2. Промахи - это результаты, выпадающие из общего ряда измерений.

2. Промахи -

это результаты, выпадающие из общего ряда измерений.

Слайд 8

ПРИЧИНА невнимание экспериментаторов, нечеткая градуировка прибора и т. д.

ПРИЧИНА

невнимание экспериментаторов, нечеткая градуировка прибора и т. д.

Слайд 9

УСТРАНЕНИЕ: при обработке обычно отбрасывают.

УСТРАНЕНИЕ:

при обработке обычно отбрасывают.

Слайд 10

3. Случайные погрешности - это погрешности, вызванные влиянием различных случайных факторов,

3. Случайные погрешности -

это погрешности, вызванные влиянием различных случайных факторов, влияние

которых и их значение во время измерения нельзя предусмотреть;

в виду этого при различных измерениях погрешности могут менять свой знак и величину, причем нельзя заранее указать ее значение.

Слайд 11

ПРИЧИНЫ вызываются причинами, влияние которых изменяется от измерения к измерению, и

ПРИЧИНЫ

вызываются причинами, влияние которых изменяется от измерения к измерению, и эти

причины не могут быть учтены.
Слайд 12

УСТРАНЕНИЕ: с помощью математической обработки результатов измерений.

УСТРАНЕНИЕ:

с помощью математической обработки результатов измерений.

Слайд 13

2. Случайные погрешности измерений

2. Случайные погрешности измерений

Слайд 14

Целью математической обработки результатов измерений является оценка величины случайных погрешностей и

Целью математической обработки результатов измерений

является оценка величины случайных погрешностей и

определение интервалов, в которых с необходимой степенью надежности находится истинное значение измеряемого признака.
Слайд 15

Свойства случайных погрешностей – для данных условий измерений случайные ошибки не

Свойства случайных погрешностей

– для данных условий измерений случайные ошибки не могут

превосходить по модулю известного предела;
– при достаточно большом количестве измерений случайные ошибки, одинаковые по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;
Слайд 16

Свойства случайных погрешностей – большие по абсолютной величине ошибки встречаются намного

Свойства случайных погрешностей

– большие по абсолютной величине ошибки встречаются намного реже,

чем малые, то есть вероятность появления ошибки уменьшается с ростом величины ошибки;
– с увеличением числа измерений среднее арифметическое случайных ошибок одинаковой точности измерений одной и той же величины неограниченно стремится к нулю.
Слайд 17

y 0

y

0

Слайд 18

3. Оценка истинного значения измеряемой величины

3. Оценка истинного значения измеряемой величины

Слайд 19

Если все измерения некоторой величины произведены с одинаковой точностью, то они называются равноточными.

Если все измерения некоторой величины произведены с одинаковой точностью, то они

называются равноточными.
Слайд 20

истинное значение измеряемой величины х1, х2, . . . , хn результаты отдельных измерений

истинное значение измеряемой величины

х1, х2, . . . , хn

результаты

отдельных измерений
Слайд 21

3. 1 Точечная оценка

3. 1 Точечная оценка

Слайд 22

Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом

Точечной оценкой

называют статистическую оценку, которая определяется одним числом

Слайд 23

Слайд 24

3. 2 Интервальная оценка

3. 2 Интервальная оценка

Слайд 25

Задача интервальной оценки: по данным выборки построить такой числовой интервал (доверительный),

Задача интервальной оценки:

по данным выборки построить такой числовой интервал (доверительный), внутри

которого с заранее заданной вероятностью, близкой к единице, будет находиться оцениваемый параметр.
Слайд 26

и задана вероятность p, близкая к единице (доверительная вероятность). Требуется найти такое значение δ, чтобы интервал

и задана вероятность p, близкая к единице (доверительная вероятность).
Требуется найти такое

значение δ, чтобы интервал
Слайд 27

Слайд 28

Ширина доверительного интервала определяется по формуле: где, число t(n,p) определяется по

Ширина доверительного интервала определяется по формуле:

где, число t(n,p) определяется по

специальным таблицам критических точек распределения Стьюдента;
σ* – исправленное среднее квадратическое отклонение.
Слайд 29

4. Оценка точности измерений

4. Оценка точности измерений

Слайд 30

Точность измерения в случае точечной оценки Средней абсолютной ошибкой называется среднее арифметическое модулей всех ошибок:

Точность измерения в случае точечной оценки

Средней абсолютной ошибкой называется среднее

арифметическое модулей всех ошибок:
Слайд 31

Точность измерения в случае точечной оценки Среднеквадратическая ошибка (стандарт):

Точность измерения в случае точечной оценки

Среднеквадратическая ошибка (стандарт):

Слайд 32

Слайд 33

Точность измерения в случае точечной оценки Коэффициент вариации (относительная среднеквадратическая ошибка)

Точность измерения в случае точечной оценки

Коэффициент вариации (относительная среднеквадратическая ошибка)


Слайд 34

Слайд 35

Точность измерения в случае интервальной оценки Ширина доверительного интервала:

Точность измерения в случае интервальной оценки

Ширина доверительного интервала:

Слайд 36

Точность измерения в случае интервальной оценки Относительная погрешность:

Точность измерения в случае интервальной оценки

Относительная погрешность:

Слайд 37

Проведен химический анализ чистого образца BaCl⋅2H2O на процентное содержание Ba. Получены

Проведен химический анализ чистого образца BaCl⋅2H2O на процентное содержание Ba. Получены

следующие результаты:

56,10%, 56,05%, 56,00%,
55,95%, 56,30%, 55,83%.

Провести обработку результатов измерений при надежности α = 95%.

Слайд 38

1. Определим среднее арифметическое ряда измерений

1. Определим среднее арифметическое ряда измерений

Слайд 39

2. Рассчитаем абсолютную погрешность каждого отдельного измерения: = 56,10 – 56,04

2. Рассчитаем абсолютную погрешность каждого отдельного измерения:

= 56,10 – 56,04

= 0,06 %;
= 56,05 – 56,04 = 0,01 %;
= 56,00 – 56,04 = – 0,04 %;
= 55,95 – 56,04 = – 0,09 %;
= 56,30 – 56,04 = 0,26 %;
= 55,83 – 56,04 = – 0,21.
Слайд 40

3. Вычислим величину исправленного среднего квадратического отклонения:

3. Вычислим величину исправленного среднего квадратического отклонения:

Слайд 41

4. Определим значение ширины доверительного интервала:

4. Определим значение ширины доверительного интервала:

Слайд 42

5. Найдем относительную ошибку:

5. Найдем относительную ошибку:

Слайд 43

Вывод: После шести измерений установлено, что с надежностью 95% содержание Ba

Вывод:

После шести измерений установлено, что с надежностью 95% содержание Ba

находится в интервале (55,87%; 56,21%).
Относительная ошибка измерений 0,3 %
Слайд 44

5. Сравнительные исследования

5. Сравнительные исследования

Слайд 45

УСЛОВИЕ 1 Сравниваемые серии измерений различаются в том случае, если выполняется неравенство:

УСЛОВИЕ 1

Сравниваемые серии измерений различаются в том случае, если выполняется неравенство:


Слайд 46

Пример 1: В таблице приведены результаты определения толщины двух кусков проволоки.

Пример 1:

В таблице приведены результаты определения толщины двух кусков проволоки.
Различаются

ли статистически устойчиво оценки результатов?
Слайд 47

Пример 1:

Пример 1:

Слайд 48

Пример 1:

Пример 1:

Слайд 49

Пример 1: Следовательно, сравниваемые комплексы измерений статистически устойчиво отличаются.

Пример 1:

Следовательно, сравниваемые комплексы измерений статистически устойчиво отличаются.

Слайд 50

Пример 1: Сравниваемые серии измерений различаются в том случае, если выполняется неравенство:

Пример 1:

Сравниваемые серии измерений различаются в том случае, если выполняется неравенство:


Слайд 51

УСЛОВИЕ 2 Сравниваемые комплексы измерений статистически устойчиво различаются с данной степенью

УСЛОВИЕ 2

Сравниваемые комплексы измерений статистически устойчиво различаются с данной степенью вероятности

р2, если доверительные интервалы, определенные для каждой серии с доверительной вероятностью р не перекрываются.
Слайд 52

Пример 2: Для указанных в примере 1 данных установить различаются ли они статистически устойчиво.

Пример 2:

Для указанных в примере 1 данных установить различаются ли они

статистически устойчиво.
Слайд 53

Пример 2: t(5; 0,95)=2,78; δ1=0,033; δ2=0,028 (1,417;1,483) (1,512;1,568) Поскольку доверительные интервалы

Пример 2:

t(5; 0,95)=2,78; δ1=0,033; δ2=0,028

(1,417;1,483)

(1,512;1,568)

Поскольку доверительные интервалы не пересекаются,

то с вероятностью р=0,952=0,9025 можно утверждать, что эти комплексы измерений устойчиво отличаются