Теоремы, умозаключения, доказательства

Август 6, 2022

Главная
Математика
Теоремы, умозаключения, доказательства

Содержание

2. Задачи на распознавание объекта В данных задачах требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект
3. Задачи на распознавание объекта решаются на основе определения понятия Если понятие а определено через родовое понятие
4. Алгоритм решения задачи на распознавание 1. Проверяем, принадлежит ли объект х объему родового понятия, т.е. истинно
5. Теорема Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). В любой теореме можно выделить
6. С логической точки зрения теорема есть высказывание вида А ⇒В, где А — условие теоремы, а
7. Виды теорем. Обратная теорема Для всякой теоремы вида «если A, то B» можно сформулировать предложение «если
8. Виды теорем. Теорема, противоположная данной Для всякой теоремы вида «если A, то B» можно сформулировать предложение
9. Виды теорем. Теорема, обратно противоположная данной Для всякой теоремы вида «если A, то B» можно сформулировать
10. Закон контрапозиции. Прямая и обратно противоположная теоремы равносильны между собой, а также обратная и противоположная теоремы
11. Умозаключение это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее
12. Пример 1. Число 13 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
13. Умозаключения бывают: Дедуктивные Индуктивные По аналогии
14. Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между ними
15. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования. В дедуктивном умозаключении
16. Схемы дедуктивных (правильных) умозаключений – правило заключения; – правило отрицания; – правило силлогизма.
17. Правило заключения A(x) ⇒ B(x) общая посылка (теорема, правило, определение) A(a) частная посылка (получается из A(x)
18. Умозаключение, построенное по правилу заключения, на теоретико-множественном языке можно записать так:
19. Для того чтобы умозаключение было дедуктивным его необходимо строить по правилам, гарантирующим истинность заключения если иначе,
20. Перестановка множителей 2∙3=6 3∙4=12 5∙2=2∙5 3∙2=6 4∙3=12 От перестановки множителей произведение не изменяется В данных рассуждениях
21. Неполной индукцией называется умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством,
22. Является ли неполная индукция дедуктивным умозаключением? Рассмотрим высказывания: 2+3 Строим заключение:(∀ a, b ∈ N) a+b
23. Использование неполной индукции при решении задач Задача. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько
24. Взаимосвязь неполной индукции и дедукции Неполная индукция и дедуктивные умозаключения взаимосвязаны: утверждения (теоремы, правила, определения, аксиомы),
25. Использование неполной индукции в начальной школе Неполная индукция используется в начальном обучении математике для «открытия» свойств
26. Деление на однозначное число 12:3=4, т.к. 3∙4=12 8:2=4, т.к. 2∙4=8 Используя такой же способ рассуждений, найдите
27. Аналогией называется умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии
28. Является ли аналогия дедуктивным умозаключением Если число делится на 2 и на 3, то оно делится
29. Использование аналогии в начальной школе Аналогия используется в начальном обучении математике при изучении свойств объектов, отношений
30. Логические основы математики Дедуктивные умозаключения используются для обоснования истинности высказываний Неполная индукция используется для «открытия» свойств
31. Логические основы математики Доказательство - это совокупность логических приемов обоснования истинности утверждения. В начальной школе нет
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Задачи на распознавание объекта
В данных задачах требуется ответить на вопрос: принадлежит

тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит.
Например, установите, какие из фигур на рисунке 1 являются квадратами, а какие нет.
Рис. 1

Слайд 3

Задачи на распознавание объекта решаются на основе определения понятия
Если понятие а

определено через родовое понятие с и видовое отличие Р, то его объем А можно представить в таком виде: А = {х | х С и Р(х)}. Эта запись показывает, что характеристическое свойство элементов, принадлежащих объему понятия а, представляет собой конъюнкцию двух свойств:
1) принадлежности объекта х объему С родового понятия (х С);
2) свойства Р(х).
Это означает, что объект х будет принадлежать объему понятия а тогда и только тогда, когда он (этот объект) содержится в объеме родового понятия и обладает свойством Р.

Слайд 4

Алгоритм решения задачи на распознавание
1. Проверяем, принадлежит ли объект х объему

родового понятия, т.е. истинно ли высказывание х ∈ С.
2. Если окажется, что х ∉ С, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект х не принадлежит объему понятия а, т.е. x ∉ A.
3. Если х ∈ С, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект х свойством Р.
4. Если объект х обладает свойством Р, то делаем вывод о его принадлежности объему понятия а, т.е. утверждаем, что х ∈ А.
5. Если окажется, что объект х не обладает свойством Р, то делаем вывод, что объект х не принадлежит объему понятия а, т.е. х ∉ А.

Слайд 5

Теорема
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).
В любой теореме

можно выделить условие (что дано), заключение (что требуется доказать) и разъяснительную часть.

Слайд 6

С логической точки зрения теорема есть высказывание вида А ⇒В, где

А — условие теоремы, а В — ее заключение. Разъяснительная часть обычно не присутствует явно в формулировке теоремы, а подразумевается.
Например,
Если углы вертикальны, то они равны.

Слайд 7

Виды теорем. Обратная теорема
Для всякой теоремы вида «если A, то B»

можно сформулировать предложение «если B, то A», которое называют обратным данному. Однако не всегда это предложение является теоремой.
В том случае, если предложение, обратное данному, будет истинно, его называют обратной теоремой.

Слайд 8

Виды теорем. Теорема, противоположная данной
Для всякой теоремы вида «если A, то

B» можно сформулировать предложение «если не A, то не B», которое называют противоположным данному. Но не всегда это предложение является теоремой.
В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Слайд 9

Виды теорем. Теорема, обратно противоположная данной
Для всякой теоремы вида «если A,

то B» можно сформулировать предложение «если не B, то не A», которое называют обратным противоположному. Это предложение называют теоремой, обратно противоположной данной.

Слайд 10

Закон контрапозиции.
Прямая и обратно противоположная теоремы равносильны между собой, а также

обратная и противоположная теоремы равносильны между собой.

Слайд 11

Умозаключение
это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых

посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.

Слайд 12

Пример 1. Число 13 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в

виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 13 = 10 + 3.
Пример 2. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 2+3= 3+2, 5+2= 2+5, 3+7 = 7+3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство a+b = b+a.
Пример 3. Известно, что 4⋅3 = 12. Значит, 12:4 = 3. Рассуждая так же, нужно найти частное 8:4. Ученики сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод – 8:4 = 2.

Слайд 13

Умозаключения бывают:
Дедуктивные
Индуктивные
По аналогии

Слайд 14

Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между ними

Слайд 15

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении

логического следования.

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок следует истинное заключение.

Слайд 16

Схемы дедуктивных (правильных) умозаключений
– правило заключения;
– правило отрицания;
– правило силлогизма.

Слайд 17

Правило заключения A(x) ⇒ B(x) общая посылка (теорема, правило, определение) A(a) частная

посылка (получается из A(x) при x=a) B(a) заключение (получается из B(x) при x=a)

Слайд 18

Умозаключение, построенное по правилу заключения, на теоретико-множественном языке можно записать так:

Слайд 19

Для того чтобы умозаключение было дедуктивным
его необходимо строить по правилам,

гарантирующим истинность заключения
если иначе, то необходимо проверять получится ли при истинных посылках истинное заключение

Слайд 20

Перестановка множителей
2∙3=6 3∙4=12 5∙2=2∙5
3∙2=6 4∙3=12
От перестановки множителей произведение не изменяется
В данных

рассуждениях можно выделить посылки: 2∙3=3∙2, 3∙4=4∙3, 5∙2=2∙5. Обобщая эти утверждения, получаем заключение:
(∀ a,b ∈ N) a∙b =b ∙ a

Слайд 21

Неполной индукцией
называется умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты

класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Слайд 22

Является ли неполная индукция дедуктивным умозаключением?
Рассмотрим высказывания:
2+3 < 2∙3; 4+3

< 4∙3; 5+2 < 5∙2
Строим заключение:(∀ a, b ∈ N) a+b < b ∙ a Полученное заключение ложно,
так как 2+1 > 2∙1
Следовательно, выводы в умозаключениях, называемых неполной индукцией, могут быть как истинными, так и ложными
Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения (гипотезы) и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.

Слайд 23

Использование неполной индукции при решении задач
Задача. К однозначному числу приписали такую

же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
1) Выскажем предположение:
Было: Приписали цифру: Увеличилось:
2 22 в 11 раз
3 33 в 11 раз
Видимо, если к однозначному числу приписать такую же цифру, то число увеличится в 11 раз.
Какое умозаключение выполнили?
2) Докажем предположение:
Если к заданному числу а, приписать такую же цифру, получим запись двузначного числа аа= 10а+а=11а. Так как один из множителей делится на 11, то и все произведение делится на 11. Значит, любое число вида аа делится на 11.
Неполная индукция при решении задач нужна для того, чтобы высказать догадку (предположение) относительно возможного ответа на вопрос задачи.

Слайд 24

Взаимосвязь неполной индукции и дедукции
Неполная индукция и дедуктивные умозаключения взаимосвязаны: утверждения

(теоремы, правила, определения, аксиомы), используемые в дедуктивных умозаключениях, часто являются результатом индуктивного обобщения некоторой совокупности фактов, а индуктивные умозаключения расширяют наши знания, помогая «открывать» новые закономерности и правила.

Слайд 25

Использование неполной индукции в начальной школе
Неполная индукция используется в начальном обучении

математике для «открытия» свойств понятий (сложения, умножения, деления и др.)
Задание
Как используя неполную индукцию, можно «открыть» с младшими школьниками следующие свойства:
- В любом прямоугольнике диагонали равны.
- При делении любого числа на 1 получается то число, которое делили.

Слайд 26

Деление на однозначное число
12:3=4, т.к. 3∙4=12
8:2=4, т.к. 2∙4=8
Используя такой же

способ рассуждений, найдите частные
9:3
20:5

Слайд 27

Аналогией
называется умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых

признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.
Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.

Слайд 28

Является ли аналогия дедуктивным умозаключением
Если число делится на 2 и на

3, то оно делится на 6.
По аналогии
Если число делится на 2 и на 4, то оно делится на 8.
Данный вывод ложный, т.к. 12 делится на 2 и 4, но оно не делится на 8
Вывод по аналогии носит характер предположения ( гипотезы) и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Слайд 29

Использование аналогии в начальной школе
Аналогия используется в начальном обучении математике при

изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними, а также для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Слайд 30

Логические основы математики
Дедуктивные умозаключения используются для обоснования истинности высказываний
Неполная индукция используется

для «открытия» свойств понятий (сложения, умножения, деления и др.)
Аналогия используется при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними, а также для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Слайд 31

Логические основы математики
Доказательство - это совокупность логических приемов обоснования истинности утверждения.
В

начальной школе нет доказательства в строго логическом и математическом смысле этого слова.
Способы обоснования истинности суждения в начальной школе:
- Дедуктивные умозаключения
- Эксперимент
- Измерения
- Вычисления

Теоремы, умозаключения, доказательства

Содержание

Задачи на распознавание объектаВ данных задачах требуется ответить на вопрос: принадлежит

Задачи на распознавание объекта решаются на основе определения понятия Если понятие а

Алгоритм решения задачи на распознавание1. Проверяем, принадлежит ли объект х объему

ТеоремаТеорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).В любой теореме

С логической точки зрения теорема есть высказывание вида А ⇒В, где

Виды теорем. Обратная теоремаДля всякой теоремы вида «если A, то B»

Виды теорем. Теорема, противоположная даннойДля всякой теоремы вида «если A, то

Виды теорем. Теорема, обратно противоположная даннойДля всякой теоремы вида «если A,

Закон контрапозиции.Прямая и обратно противоположная теоремы равносильны между собой, а также

Умозаключение это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых

Пример 1. Число 13 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в

Умозаключения бывают:ДедуктивныеИндуктивныеПо аналогии

Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между ними

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении

Схемы дедуктивных (правильных) умозаключений– правило заключения;– правило отрицания;– правило силлогизма.

Правило заключения A(x) ⇒ B(x) общая посылка (теорема, правило, определение) A(a) частная

Умозаключение, построенное по правилу заключения, на теоретико-множественном языке можно записать так:

Для того чтобы умозаключение было дедуктивным его необходимо строить по правилам,

Перестановка множителей2∙3=6 3∙4=12 5∙2=2∙53∙2=6 4∙3=12От перестановки множителей произведение не изменяетсяВ данных

Неполной индукциейназывается умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты

Является ли неполная индукция дедуктивным умозаключением?Рассмотрим высказывания: 2+3 < 2∙3; 4+3

Использование неполной индукции при решении задачЗадача. К однозначному числу приписали такую

Взаимосвязь неполной индукции и дедукцииНеполная индукция и дедуктивные умозаключения взаимосвязаны: утверждения

Использование неполной индукции в начальной школеНеполная индукция используется в начальном обучении

Деление на однозначное число12:3=4, т.к. 3∙4=12 8:2=4, т.к. 2∙4=8Используя такой же

Аналогиейназывается умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых

Является ли аналогия дедуктивным умозаключениемЕсли число делится на 2 и на

Использование аналогии в начальной школеАналогия используется в начальном обучении математике при

Логические основы математикиДедуктивные умозаключения используются для обоснования истинности высказыванийНеполная индукция используется

Логические основы математикиДоказательство - это совокупность логических приемов обоснования истинности утверждения.В

Похожие презентации