Содержание
- 2. Дифференциальное исчисление
- 3. Дифференцируемая функция Выражение Δf(x) = f(x) – f(a) называется приращением функции f(x). Выражение Δx = x
- 4. Дифференцируемая функция Таким образом, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция
- 5. Производная функции Эта функция называется производной функции f в точке x и обозначается f’(x). Другими словами,
- 6. Дифференциал функции Отсюда следует, что дифференциал функции f(x) = x можно записать в виде dx(Δx) =
- 7. Правила дифференцирования Теорема: Пусть функции f: X → ℝ и g: X → ℝ дифференцируемы в
- 8. Правила дифференцирования Утверждение 1: Если f(x) = C = const, то f’(x) = 0. Утверждение 2:
- 9. Дифференцирование композиции Теорема о производной сложной функции: Если функция f: X → Y дифференцируема в точке
- 10. Дифференцирование обратной функции Теорема о производной обратной функции: Пусть функции f: X → Y и f–1:
- 11. Таблица производных Используя определение производной и правила дифференцирования, можно получить формулы для производных основных элементарных функций:
- 12. Таблица производных 10. 11.
- 13. Касательная Пусть M и M1 – точки на графике функции f(x). Проведём прямую MM1 через эти
- 14. Смысл производной Таким образом, f’(x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке x0.
- 15. Нормаль Нормалью к графику функции f(x) в точке x0 называется прямая, проходящая через точку x0 перпендикулярно
- 16. Производные высших порядков Если производная функции f(x) дифференцируема в точке x0, то производная производной называется второй
- 17. Классы непрерывных функций Множество всех функций, имеющих на множестве E непрерывные производные до порядка n включительно,
- 18. Локальные экстремумы Точка x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки
- 19. Необходимое условие экстремума Теорема Ферма: Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и x0 является точкой
- 20. Монотонность и производная Утверждение (признак монотонности функции): Если ∀ x ∈ (a, b) f’(x) 0, то
- 21. Достаточное условие экстремума Теорема: Пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x0. Тогда, если в
- 22. Второе достаточное условие экстремума Теорема: Пусть f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке x0. Тогда, если f’’(x0)
- 23. Выпуклость функции Функция f(x) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если график функции лежит ниже
- 24. Теоремы о конечном приращении Теорема Ролля: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на
- 25. Формула Тейлора Любую функцию f(x), имеющую производные до n порядка, можно представить в виде: Многочленом Тейлора
- 26. Остаточный член формулы Тейлора Форма Коши остаточного члена: Форма Лагранжа остаточного члена: Форма Пеано остаточного члена:
- 27. Первое правило Лопиталя Теорема (первое правило Лопиталя): Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a,
- 29. Скачать презентацию