Содержание
- 2. Введение Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их
- 3. Элементы теории матриц
- 4. Сумма (разность) двух матриц и одинакового размера определяется следующим образом: Для умножения матрицы на число нужно
- 5. Произведением матрицы A из m строк и k столбцов на матрицу B из k строк и
- 6. Пример. В частности,
- 7. Правило Крамера и определители матриц 2-го и 3-го порядков Рассмотрим матрицу второго порядка: Число называется определителем
- 8. Определитель третьего порядка обозначается и вычисляется по формуле
- 9. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными выражается через определители третьего порядка по фор-мулам Крамера:
- 10. Вектор – это направленный отрезок. Обозначается вектор символом или , где точка А – начало, а
- 11. Линейные операции над векторами Произведением вектора на число к называется вектор , который: имеет длину коллинеарен
- 12. Суммой двух векторов и называется вектор , получаемый по правилу параллелограмма: Теорема. Любой вектор на плоскости
- 13. Базисом называются взятые в определенном порядке линейно независимые векторы. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис
- 14. Декартовой прямоугольной системой координат называется совокупность фиксированной точки О (начала координат) и базиса векторов , исходящих
- 15. Радиус-вектором произвольной точки М называют вектор , а его координаты называют координатами этой точки. Для произвольной
- 16. Скалярное произведение Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между
- 17. С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами: В частности, условие ортогональности двух векторов выражается
- 18. Прямая линия на плоскости Общее уравнение прямой – уравнение прямой L, проходящей через заданную точку перпендикулярно
- 19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом прямая L пересекает ось ординат в точке (0, b) и образует
- 20. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Положительный угол φ, который отсчитывается от прямой до прямой
- 21. Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали
- 22. Пример 2. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями и . Решение. Используя формулу, получаем: Получаем
- 23. Пример 3. Написать уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки (-1, 2) и (2, 1).
- 24. Элементы математического анализа Пусть заданы два множества X и Y произвольной природы. Допустим, что каждому элементу
- 25. Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке
- 27. Дифференцирование Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной
- 28. Вычисление производных Правила дифференцирования: Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций Производная
- 29. Постоянный множитель при дифференцировании выносится за знак производной Производная частного вычисляется по следующей формуле
- 30. Таблица основных производных
- 31. Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной
- 33. Пример. Найти экстремумы функции Функция определена на всей числовой прямой. Её производная всюду существует, поэтому абсциссы
- 34. Интегрирование Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a, b) (конечном или бесконечном), если
- 35. Правила интегрирования
- 36. Таблица интегралов
- 37. Пример. Найти интеграл Решение. Согласно тождеству , получим
- 38. Интегрирование методами подстановки и замены переменной. Формула подстановки Пример. Вычислить Решение. Делая в этой формуле подстановку
- 40. Формула интегрирования по частям Пример. Вычислить Решение. Введем обозначения: , Тогда , Применяя формулу интегрирования по
- 41. Определённым интегралом функции на промежутке называется конечный предел интегральных сумм если он существует и не зависит
- 42. Формула Ньютона – Лейбница вычисления определенного интеграла: Формула интегрирования по частям:
- 43. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией осью абсцисс и прямой . Искомая площадь (см. рис.) выражается
- 44. Правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычислить интеграл . Заменим , причем концам промежутка
- 45. Пример. Вычислить определенный интеграл Решение. Произведём замену переменной, полагая Тогда dt = 2x dx, откуда x
- 46. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее
- 47. Уравнения первого порядка Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: Пример. Пусть имеется уравнение Непосредственной подстановкой убеждаемся
- 48. Построим графики этих функций при различных значениях C в плоскости переменных x, y.
- 49. Формула (*) определяет общее решение уравнения, представляющее собой семейство кривых. Выберем точку с координатами (на рис.
- 50. Для произвольного дифференциального уравнения первого порядка общее решение имеет вид функции содержащей параметр С. Графики функций
- 51. Уравнения с разделяющимися переменными Если в дифференциальном уравнении правая часть может быть представлена в виде произведения
- 52. Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение. Так как , то . Далее разделяем переменные: Следующий этап –
- 55. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общий вид: (**) Характеристическое уравнение: (**)
- 56. Если уравнение (*) имеет два различных действительных корня и , то общее решение уравнения (**) имеет
- 57. Пример 1. Решить уравнение y`` + 3y` + 2y = 0. Решение. Данное уравнение является линейным
- 60. Скачать презентацию