Математика. Управление социальными системами. Линейная алгебра. Матрицы

Август 22, 2022

Главная
Математика
Математика. Управление социальными системами. Линейная алгебра. Матрицы

Содержание

2. М А Т Р И Ц Ы ОПРЕДЕЛЕНИЯ Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица
3. М А Т Р И Ц Ы ОПРЕДЕЛЕНИЯ Матрицу обозначают: Матрица любой размерности называется нулевой (обозначают:
4. М А Т Р И Ц Ы Виды матриц Матрица размерности 1 x n называется матрицей-строкой:
5. М А Т Р И Ц Ы Виды матриц Квадратная матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной), если все
6. М А Т Р И Ц Ы Виды матриц Квадратная матрица называется единичной (обозначают: Е), если
7. М А Т Р И Ц Ы Виды матриц Матрица, полученная из квадратной матрицы А заменой
8. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Две матрицы одинаковой размерности называются равными,
9. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Произведением матрицы А размерности m x
10. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Примеры.
11. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ П р и м е ры.
12. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Свойства линейных операций где матрицы одинаковой
13. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ 2) Умножение матриц Произведением матрицы размерности
14. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Пример.
15. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Пример. Следовательно, , т.е. умножение матриц
16. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Свойства операции умножения матриц: (для квадратных
17. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ 3) Возведение в степень Эта операция
18. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ П р и м е ры.
19. М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ П р и м е ры.
20. М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ О п р е д е л
21. М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2) замена строки суммой этой строки и
22. М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 3) умножение строки на ненулевое число α,
23. М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ О п р е д е
24. М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ О п р е д е
25. М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ Т е о р е м
26. М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ О п р е д е
27. М А Т Р И Ц Ы РАНГ МАТРИЦЫ О п р е д е л
28. М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ П р и м е р
29. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ. П р и м е
30. М А Т Р И Ц Ы 3. СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ.
32. Скачать презентацию

Слайд 2

М А Т Р И Ц Ы ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрицей размерности m

x n называется прямоугольная таблица чисел:
содержащая m-строк и n-столбцов.
Числа aij ─ элементы матрицы (i-номер строки матрицы, j - номер столбца матрицы, в которых расположен данный элемент)

Слайд 3

М А Т Р И Ц Ы ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрицу обозначают:
Матрица

любой размерности называется нулевой (обозначают: О), если все ее элементы равны нулю.

или

Слайд 4

М А Т Р И Ц Ы Виды матриц
Матрица размерности 1

x n называется матрицей-строкой:
(a11 … a1n).
Матрица размерности m x 1 называется матрицей-столбцом:
Если m=n , то матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Ее элементы a11,…,ann образуют главную диагональ; их сумма называется следом матрицы SpA; числа an1,an-1,2,…,a1n - побочную диагональ.

Слайд 5

М А Т Р И Ц Ы Виды матриц
Квадратная матрица

называется верхнетреугольной (нижнетреугольной), если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Слайд 6

М А Т Р И Ц Ы Виды матриц
Квадратная матрица называется

единичной (обозначают: Е), если она диагональная и все элементы главной диагонали равны единице.

Слайд 7

М А Т Р И Ц Ы Виды матриц
Матрица, полученная из

квадратной матрицы А заменой всех строк соответствующими (по номеру) столбцами, называется транспонированной к матрице А и обозначается АT
Пример.

Слайд 8

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Две матрицы одинаковой

размерности называются равными, если они совпадают поэлементно.
1) Линейные операции
Суммой (разностью) матриц А и В размерности m x n называется такая матрица размерности m x n , у которой все элементы равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В

Слайд 9

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Произведением матрицы А

размерности m x n на число α называется такая матрица α А размерности m x n , у которой все элементы равны произведению соответствующего элемента матрицы А на число α.
Операции умножения на число и сложения называются линейными операциями.

Слайд 10

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Примеры.

Слайд 11

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
П р и

м е ры. Вычислить матрицу 2А − 3В, если

Р е ш е н и е. Зная матрицы А и В, находим:

Слайд 12

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Свойства линейных операций

где

матрицы одинаковой размерности.

Слайд 13

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
2) Умножение

матриц
Произведением матрицы размерности m x κ на матрицу размерности κ x n называется такая матрица С размерности m x n , у которой элемент с номером ij вычисляется по формуле:
Число (1) равно скалярному произведению вектора, составленного из элементов i - й строки матрицы А, на вектор, составленный из элементов j - го столбца матрицы В.

(1)

Слайд 14

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Пример.

Слайд 15

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Пример.
Следовательно, ,

т.е. умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Слайд 16

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Свойства операции

умножения матриц:

(для квадратных матриц),

Предполагается, что указанные здесь действия определены.

Слайд 17

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
3) Возведение

в степень
Эта операция определена только для квадратных матриц и вводится по правилу:

Для диагональной матрицы справедлива формула:

Слайд 18

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
П р

и м е ры. Найти А2, если

Слайд 19

М А Т Р И Ц Ы ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
П р и

м е ры. Найти А2, если

Слайд 20

М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
О п

р е д е л е н и е. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются преобразования следующих типов:
1) перестановка местами двух строк матрицы,
условное обозначение:
где стрелки указывают на строки, переставляемые местами;

Слайд 21

М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
2) замена

строки суммой этой строки и некоторой другой, вспомогательной, предварительно умноженной на какое-либо число α
условное обозначение: (α), где стрелка указывает на изменяемую строку;
Множитель (α) ставят рядом со вспомогательной строкой;

Слайд 22

М А Т Р И Ц Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
3) умножение

строки на ненулевое число α, условное обозначение: (α), ставится рядом с изменяемой строкой .
З а м е ч а н и е 3. Аналогично вводятся элементарные преобразования столбцов матрицы.
О п р е д е л е н и е. Опорным элементом строки матрицы называется первый слева ненулевой элемент этой строки. Если строка нулевая, то опорного элемента у нее нет.

Слайд 23

М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ
О п

р е д е л е н и е. Матрица называется ступенчатой (или имеющей ступенчатый вид), если выполнены следующие условия:
● если какая-то строка матрицы нулевая, то все последующие строки − нулевые;
● опорный элемент в каждой последующей строке расположен правее, чем в предыдущей.

Пример.

Слайд 24

М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ
О

п р е д е л е н и е.
Матрица имеет вид Гаусса, если:
● матрица является ступенчатой;
● все опорные элементы равны единице;
● над опорными элементами стоят только нули.

Пример.

Слайд 25

М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ
Т е

о р е м а 1. Любая матрица А может быть приведена к ступенчатой матрице А1 с помощью элементарных преобразований строк первого и второго типов.
Т е о р е м а 2. Любая матрица А может быть приведена к ступенчатой матрице А2 вида Гаусса с помощью элементарных преобразований строк первого – третьего типов.

Слайд 26

М А Т Р И Ц Ы СТУПЕНЧАТЫЙ ВИД МАТРИЦЫ
О п

р е д е л е н и е. Матрицы А1 и А2 , построенные по матрице А с помощью элементарных преобразований, называются, соответственно, ступенчатым видом матрицы А и видом Гаусса матрицы А.
О п р е д е л е н и е. Строки и столбцы матрицы A1, в которых расположены ее опорные элементы, называются базисными строками и базисными столбцами исходной матрицы.
З а м е ч а н и е. Наборы базисных строк и базисных столбцов и ступенчатый вид и вид Гаусса у матрицы не единственные.

Слайд 27

М А Т Р И Ц Ы РАНГ МАТРИЦЫ
О п р

е д е л е н и е. Рангом матрицы А называется число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.
Обозначение: r(A) или rang(A)
Теорема 3. Ранг матрицы не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду.
З а м е ч а н и е. Справедливы неравенства:

0≤r(A)≤ min (m, n)

Слайд 28