Матрицы и определители

a ij квадратной матрицы А n-го порядка называется определитель матрицы, полученной из A удалением i-ой строки и j-го столбца. Опр. 15. Алгебраическим дополнением Аij элемента a ij квадратной матрицы А называется минор этого элемента со знаком, определяемым по «шахматному правилу»
Аij=(-1)i+j Мij

+ - + -

- + - +

+ - + -

квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы А на их алгебраические дополнения.

разложение по i-ой строке

разложение по j-ому столбцу

произведений элементов любой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) матрицы А равно 0.

нулей.
Определитель диагональной и треугольной матрицы равен произведению элементов, принадлежащих главной диагонали.

Определитель единичной матрицы равен 1

ее определитель не меняется. Свойства строк и столбцов одинаковы.
2. Если все элементы какой-либо строки матрицы равны 0, то ее определитель тоже равен 0.
3. Если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на число λ, то ее определитель тоже умножится на λ.
4. При перестановке любых двух строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если матрица содержит две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк матрицы пропорциональны, ее определитель равен 0.
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, предварительно умноженные на одно и то же число λ.
8. det (A·B) = det (A) · det (B)

0, если а-1· а = а· а-1 =1.
Опр. 16. Матрица А-1 называется обратной квадратной матрице А порядка n, если
А-1 · А = А · А-1 =Е. (1)
Очевидно, что по правилам умножения матриц матрицы А-1 и Е должны быть квадратными порядка n.
Так как умножение матриц некоммутативно, докажем совпадение левой и правой обратных матриц, умножаемых слева и справа на А в формуле (1).

Опр. 17. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

матрицы является ее невырожденность.

где - присоединенная матрица, элементы которой получаются транспонированием матрицы алгебраических дополнений исходной матрицы .
Пример:

матрицы, полученной из А выделением произвольных k ее строк и k столбцов.
Очевидно, что 1 ≤ k ≤ min (m, n)
Опр. 19. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг нулевой матрицы равен 0.
Очевидно, что 0 ≤ r(A) ≤ min (m, n)

При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

от нуля.

2. Ранг верхней треугольной матрицы, в которой все элементы главной диагонали, не равны 0, равен числу строк.

r(A)=2

3. Ранг прямоугольной матрицы удобно вычислить, приведя ее элементарными преобразованиями к ступенчатому виду: верхние строки представляют собой треугольную или трапециедальную матрицу, в которой все элементы главной диагонали не равны 0, а нижние строки – нулевые.
Тогда ранг будет равен числу ненулевых строк в этой матрице.

В ненулевой минор выделяем строки и столбцы, где стоят ненулевые элементы диагонали. Все миноры большего порядка будут содержать нулевую строку.