Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона

Содержание

2. Понятие конечных разностей Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит на n одинаковых отрезков
3. Понятие конечных разностей Конечные разности первого порядка Δy0 = y1 – y0 Δy1 = y2 –
4. Понятие конечных разностей Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть: Диагональными; Горизонтальными.
5. Диагональная таблица
6. Горизонтальная таблица
7. Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции y = f(x) заданы значения yi = f(xi) для
8. Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий: Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 . . . .
9. Определение коэффициентов Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к. второе, третье и другие
10. Определение коэффициентов Для определения а2 составим конечную разность второго порядка. При x = x2 получим:
11. Построение многочлена Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид. Подставляя эти выражения в формулу
12. Первая интерполяционная формула Ньютона Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование
13. Первая интерполяционная формула Ньютона Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x
14. Пример Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T). Определить значение теплоёмкости в
15. Пример Составим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2 Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный многочлен при
16. Пример Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: Сp(450)=71,31Дж/(моль ⋅ К) . Значение теплоемкости при
17. Вторая интерполяционная формула Ньютона
18. Область применения Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце
19. Определение коэффициентов Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия: Pn (xi ) = yi i=0,...,n. 1.Полагаем в
20. Определение коэффициентов 2.Полагаем x=xn-1, тогда: Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1 , Следовательно: 3.Полагаем x=xn-2
21. Определение коэффициентов Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:
22. Вторая интерполяционная формула Ньютона Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или
23. Вторая интерполяционная формула Ньютона Введем обозначения:
24. Вторая интерполяционная формула Ньютона Произведя замену , получим Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».
25. Пример Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К. Воспользуемся второй формулой Ньютона и соответствующими конечными разностями
26. Пример Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно: Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).
27. Аппроксимация функций
28. Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные
29. Особенности аппроксимации если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m
30. Особенности аппроксимации В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом между ними и очень
31. Условия применения аппроксимации Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень
32. Условия применения аппроксимации Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки
33. Условия применения аппроксимации Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на
34. Условия применения аппроксимации интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов:
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие конечных разностей
Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит

на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). Δx=h=const. Для каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+n⋅h определены значения функции в виде:
f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.

Слайд 3

Понятие конечных разностей
Конечные разности первого порядка
Δy0 = y1 – y0
Δy1

= y2 – y1
. . . . .
Δyn-1 = yn – yn-1.
Конечные разности второго порядка
Δ2y0 = Δy1 – Δy0
Δ2y1 = Δy2 – Δy1
. . . . . .
Δ2yn-2 = Δyn-1 – Δyn-2
Аналогично определяются конечные разности высших порядков:
Δky0 = Δk-1y1 – Δk-1y0
Δky1 = Δk-1y2 – Δk-1y1
. . . . . .
Δkyi = Δk-1yi+1 – Δk-1yi , i = 0,1,...,n-k.

Слайд 4

Понятие конечных разностей
Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут

быть:
Диагональными;
Горизонтальными.

Слайд 5

Диагональная таблица

Слайд 6

Горизонтальная таблица

Слайд 7

Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции y = f(x) заданы значения

yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных: xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции.
Необходимо найти полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения:
Pn (xi) = yi , i=0,...,n.
Запишем интерполирующий полином в виде:

Слайд 8

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:
Pn(x0)=y0

Pn(x1)=y1
. . . .
Pn(xn)=yn

Слайд 9

Определение коэффициентов
Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к.

второе, третье и другие слагаемые равны 0,
Pn(x0) = y0 = a0 a0=y0.
Найдем коэффициент а1.
При x = x1 получим:

Слайд 10

Определение коэффициентов
Для определения а2 составим конечную разность второго порядка.
При x =

x2 получим:

Слайд 11

Построение многочлена
Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.
Подставляя эти

выражения в формулу полинома, получаем:
где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции
h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Слайд 12

Первая интерполяционная формула Ньютона
Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции

в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.

Слайд 13

Первая интерполяционная формула Ньютона
Для практического использования этот полином записывают в преобразованном

виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда
Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.

Слайд 14

Пример
Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T).

Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100
Таблица 1

Слайд 15

Пример
Составим таблицу конечных разностей функции.
Таблица 2
Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный

многочлен при x=450 К.

Слайд 16

Пример
Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет:
Сp(450)=71,31Дж/(моль ⋅ К)

.
Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.

Слайд 17

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Слайд 18

Область применения
Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в

точках, расположенных в конце интервала интерполирования.
Запишем интерполяционный многочлен в виде:

Слайд 19

Определение коэффициентов
Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия:
Pn (xi ) =

yi i=0,...,n.
1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = xn,, тогда

Слайд 20

Определение коэффициентов
2.Полагаем x=xn-1, тогда:
Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1

,
Следовательно:
3.Полагаем x=xn-2 , тогда

Слайд 21

Определение коэффициентов
Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:

Слайд 22

Вторая интерполяционная формула Ньютона
Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую

интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».

Слайд 23

Вторая интерполяционная формула Ньютона
Введем обозначения:

Слайд 24

Вторая интерполяционная формула Ньютона
Произведя замену , получим
Это вторая формула Ньютона для

интерполирования «назад».

Слайд 25

Пример
Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К.
Воспользуемся второй формулой Ньютона и

соответствующими конечными разностями (табл. 2)

Слайд 26

Пример
Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно:
Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).

Слайд 27

Аппроксимация функций

Слайд 28

Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые

точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: yi=f(xi).
Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)

Слайд 29

Особенности аппроксимации
если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим

количеством коэффициентов (m

Слайд 30

Особенности аппроксимации
В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом

между ними и очень близко к ним (рис. 1).
Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.

Слайд 31

Условия применения аппроксимации
Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае

интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.

Слайд 32

Условия применения аппроксимации
Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если

требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.

Слайд 33

Условия применения аппроксимации
Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от

интерполирующей функции.
Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

Слайд 34

Условия применения аппроксимации
интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки

эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона

Содержание

Понятие конечных разностейПусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит

Понятие конечных разностейКонечные разности первого порядкаΔy0 = y1 – y0 Δy1

Понятие конечных разностейКонечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут

Диагональная таблица

Горизонтальная таблица

Первая интерполяционная формула НьютонаПусть для функции y = f(x) заданы значения

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий: Pn(x0)=y0

Определение коэффициентовПолагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к.

Определение коэффициентовДля определения а2 составим конечную разность второго порядка.При x =

Построение многочленаАналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.Подставляя эти

Первая интерполяционная формула НьютонаЭтот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции

Первая интерполяционная формула НьютонаДля практического использования этот полином записывают в преобразованном

ПримерДана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T).

ПримерСоставим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный

ПримерТаким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: Сp(450)=71,31Дж/(моль ⋅ К)

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Область примененияВторой интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в

Определение коэффициентовКоэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия: Pn (xi ) =

Определение коэффициентов2.Полагаем x=xn-1, тогда: Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1

Определение коэффициентовАналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:

Вторая интерполяционная формула НьютонаПодставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую

Вторая интерполяционная формула НьютонаВведем обозначения:

Вторая интерполяционная формула НьютонаПроизведя замену , получимЭто вторая формула Ньютона для

Пример Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К.Воспользуемся второй формулой Ньютона и

ПримерСледовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно:Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).