Методы научного познания в обучении математике

двигаются от данных задачи к искомым

когда элементы объединяют в целое

в форме рассуждений

в форме расчленения

в форме рассуждений

в форме объединения

решении сюжетных задач

Задача. Колхознику надо было быть в пункте, находящемся на расстоянии 134,7 км от дома. 2,4 часа он ехал на автобусе, идущем со скоростью 55 км/ч, а остальную часть пути он прошёл пешком со средней скоростью 4,5 км/ч. Сколько времени он шёл пешком?

Анализ

Синтез

км/ч

Скорость движения пешком

Весь путь

Весь путь
134,7 км

Путь, пройденный автобусом

Путь, пройденный автобусом
55*2,4=132 км

Скорость движения автобуса
55км/ч

Скорость движения автобуса
55км/ч

Время движения автобуса
2,4 ч

Время движения автобуса
2,4 ч

Синтез

Анализ

время движения пешком

и дополняют друг друга, составляя

аналитико-синтетический метод

Пример

Доказать: Угол между касательной АВ, где А-точка касания, и хордой АС измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

А

в

с

м

о

Проводим анализ в форме рассуждений от искомого к данным. Чтобы доказать, что ВАС измеряется половиной дуги АС, достаточно доказать его равенство другому углу, который также измеряется дугой АС или ей равной дугой (анализ).

Строим вписанный СЕА, сторона которого проходит через центр окружности. Из рисунка видим, что СЕА=САВ, так как они дополняют один и тот же САЕ до прямого (синтез).

в

А

с

м

Е

данной ситуации

числа
при любом натуральном n ».

Пример

Вычисляя значения выражения

Этот вывод сделан на основе неполной индукции, так как рассмотрены не все частные случаи. Значит, он может оказаться ошибочным.

Действительно, при n=40 получаем составное число:

Рассуждения, основанные на неполной индукции, может привести к ошибочному результату.

учащихся к самостоятельному "открытию" математических предложений;

2) чтобы убедить учащихся в справедливости той или иной теоремы, когда строгое доказательство им не под силу;

3) для иллюстрации с помощью наглядных пособий теоремы или её доказательства;

4) как один из действенных методов поиска решения задач.

математическое "открытие"

Подводим учащихся к формулировке правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Предлагаем найти сумму

+

.

Ученики делят отрезок на 7 равных частей, откладывают на нём друг за другом дроби, подсчётом находят

+

=

и после этого самостоятельно формулируют правило.

объектов и к их последующему доказательству

Задача. Если медиана и высота, проведённые из одной вершины треугольника, делят угол при этой вершине на три равные части, то треугольник- прямоугольный.

А

В

С

Н

М

Рассматриваем

АВМ, видим, что АН=НМ. Доказываем, что они действительно равны, и обозначаем каждый из них х.Смотрим на весь чертёж в целом и замечаем, что ВМ – медиана, т.е. АМ=МС. МС=2х.

Рассматриваем треугольник ВНС и из рисунка выявляем, что ВМ – его биссектриса и делит сторону НС на части х и 2х.

х

2х

Вспоминаем теорему:”Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам”. Получаем:

В треугольнике ВНС: sin С=0.5. Отсюда: С=30, НВС=60, АВС=90

неполная индукция как один из методов поиска решения задач

что других случаев нет

2) доказываем справедливость гипотезы для каждого из возможных случаев

3) делаем вывод: если в каждом случае гипотеза верна и проверены все частные случаи, то справедливость гипотезы доказана.

не кратного 5, увеличенный или уменьшенный на единицу, делится на 5».

Если число не кратно 5, то при делении на 5 оно даёт в остатке 1,2,3 или 4,т.е. его можно представить в виде:

Выражения и можно объединить, записав их

в виде

. Аналогично объединяются два других выражения.

Значит, любое число, не кратное 5, можно записать в виде: или .

Проверяем выполнимость утверждения в 2 случаях:

В обоих случаях наша гипотеза верна.

1)

2)

3)

умозаключений одной природы

дедукция как форма мышления

дедукция как метод обучения математике

познания, которые
рассматривают совокупность правил логического вывода.

Правило заключения: если известно, что из А следует В, и если выполняется А, то выполняется В, т.е.

Пример

А: Все люди смертны.
В: Сократ – человек.

Сократ смертен.

II. Правило контрапозиции: если верно, что из А следует В, то верно, что из не В следует не А, т.е.

Пример

Если треугольник равнобедренный (А),
то он имеет два равных угла (В).

----------------------------

Если в треугольнике нет двух равных углов ,
то он не равнобедренный.

и В следует С, то верно, что из А и одновременного отрицания В следует отрицание С, т.е.

Пример

Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

-----------------------------------

Если число делится на 3 и не делится на 2, то оно не делится на 6.

IV. Правило силлогизма: если из А следует В, из В следует С, то из А следует С, т.е.

Пример

Если две прямые на плоскости не имеют общих точек,
то они параллельны.
Если две прямые параллельны,
то точки одной прямой равноудалены от другой прямой.

-----------------------------------

Если две прямые на плоскости не имеют общих точек,
то точки одной прямой равноудалены от другой прямой.

предложений делается логический вывод о справедливости нового предложения.

Виды дедуктивных умозаключений:

1) от общего знания делают логический переход к новому знанию такой же общности

2) от единичного знания переходят к частному знанию

3) от общего знания переходят к менее общему знанию или единичному

и м е м а

Логическое умозаключение, в котором из двух данных суждений ( большой и малой посылок) получают третье (заключение).

Сокращённый силлогизм

Например, « Так как А и В – острые углы прямоугольного треугольника, то их сумма равна 90 градусов». Здесь опущена большая посылка.

К обнаружены свойства а1, в1, с1.

-------------------------------------------------

Вероятно, К обладает свойством е1.

где М и К различные явления; а и а1, в и в1…- сходные свойства этих явлений

Аналогия означает соответствие, сходство.

в аналогичных предложениях

составление предложений или задач, аналогичных данным

проведение рассуждений по аналогии

письменные образцы решения задач, образцы оформления записей и рекомендуют поступать подобным образом в аналогичных ситуациях.

Аналогия как рассуждение при поиске решения задач:

Если учащиеся не могут решить задачу, то им рекомендуется ответить на вопросы: «Не встречалась ли ранее аналогичная задача?» «Нельзя ли воспользоваться способом её решения?».