Подобие в геометрии. Подобные треугольники

Подобные фигуры

Предметы одинаковой формы, но разных размеров

Фотографии, отпечатанные с одного негатива,

Подобные фигуры

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами

Подобными являются любые

Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков называется отношение их длин.
Отрезки AB и CD пропорциональны

Пропорциональность отрезков

Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.

например

ПРИМЕР

Даны два прямоугольных треугольника

Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK,

Подобные треугольники

Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1,
у которых ∠A = ∠A1,

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны

Коэффициент подобия

Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

ΔAΒC

Дополнительные свойства

Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту

Отношение периметров

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение площадей

Свойство биссектрисы треугольника

C

B

A

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные

задача

По данным на рисунке найдите х.

х = 15

задача

Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1.
Найдите сторону большего

задача

В треугольнике АВС
АС = 6 см,
ВС = 7 см,
AB =

задача

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см
подобен треугольнику со

задача

Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3.
Найдите периметр

задача

ΔABC ~ ΔA1B1C1 ,
AB : A1B1 = k = 4

задача

Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм,
а биссектриса делит боковую сторону на

задача

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем

∠F = 20°, ∠E =

задача

Периметры подобных треугольников
12 мм и 108 мм соответственно.
Стороны одного из

задача

Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2.
Одна

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников

задача

AD = 4
BC = 5
AB + DC = 12
Найти AB,

задача

На рисунке
ΔВЕС ~ ΔАВС,
АЕ = 16 см,
СЕ = 9

задача

Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3,
сумма их площадей

ЗАДАЧИ

1.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и

Решение

Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC:
∠1=∠2 (накрест лежащие при AD ||

Решение

.
k = 3
AD + BC =

ЗАДАЧИ

2.
Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение

Решение

Отсюда
ΔABC~ΔDEF
по трем пропорциональным сторонам

Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

Решение

ΔABC~ΔDEF
Соответственно
∠A = ∠E
∠B = ∠F
∠ACB = ∠EDF

E

.
Рассмотрим прямые BC

ЗАДАЧИ

3.
Отрезки AB и CD пересекаются
в точке O, причем .
Докажите,

Решение

Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB
∠DOA = ∠COB (вертикальные).
.
ΔAOD ~ ΔCOB

ЗАДАЧИ

4. В треугольнике ABC
AB = 4, BC = 6, AC

Решение

.
Рассмотрим ΔBEM и ΔABC
BE = AB − AE = 4

ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам.
Следовательно, ∠BME = ∠AСB

ЗАДАЧИ

5.
Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90.
Середина M стороны AB соединена

Решение

Рассмотрим
ΔAOM и ΔCОD
∠AOM = ∠CОD (вертикальные),
∠MAO = ∠

Решение

.
AM = ½ AB (по условию)
AB = CD (ABCD

ТЕСТ

1. По данным рисунка х равен
А) 7
Б) 14
В) 3,5
Г) 14/3

ТЕСТ

2) По данным рисунка периметр ΔABC равен
А) 9
Б) 27
В) 36
Г) 18

ТЕСТ

3) По данным рисунка отрезок BC равен
А) 3,75
Б) 7,5
В) 5
Г) 4,5

А

В

С

3

3

4

0,5

2,5

ТЕСТ

4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся
А) 3 :