Комплексные числа

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида
где и – действительные числа,
а

Два комплексных числа
называются равными тогда и только тогда, когда
Комплексное

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.
Два комплексных числа

Извлечение корней из комплексных чисел

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется

Пример

Вычислить
Решить уравнение
Решить уравнение
Решение. 1.

2.
3.

Тема: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение
связывающее независимую переменную x, искомую функцию

Если дифференциальное уравнение можно записать в виде
то говорят, что оно разрешимо

Решение дифференциального уравнения

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется

Задача Коши

Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию ,

Общее решение ДУ

Общим решением дифференциального уравнения
называется такая функция
где –

Если общее решение записать в виде
то это соотношение называется

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида
Где
– заданные функции,

Если
то, разделив уравнение (1) на
получим уравнение
которое

Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием:
Уравнение
Где – заданные функции,

Схема решения ДУ с разделяющимися переменными

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида
Где , ,
– непрерывные

§2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение вида
или
называется дифференциальным уравнением второго

Решением уравнения
называется всякая функция , которая при подстановке вместе

Общим решением уравнения
называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных

Понижение порядка дифференциальных уравнений

В некоторых частных случаях удается понизить порядок

Типы уравнений, допускающих понижение порядка

Уравнение
Способ понижения порядка

Пример

Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя, получим
– уравнение с
разделяющимися переменными.

Так как
разделяем переменные и интегрируем:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Уравнение вида
(p и q

Уравнение
называется характеристическим для дифференциального уравнения
Для составления характеристического уравнения в

Пример

Составить характеристические уравнения для следующих дифференциальных уравнений:
1.
2.
3.
4.

Пример

1. Найти общее решение уравнения
Решение. Составим характеристическое уравнение, заменяя в данном