Неопределенный интеграл и его свойства

называется первообразной (для) функции f(x) на некотором множестве значений Х, если F΄(x) = f(x) на этом множестве.

1. Определение неопределенного интеграла

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную.

Теорема 2. Если функции F(x) и G(x) являются первообразными одной и той же функции f(x) на некотором множестве, то необходимым и достаточным условием этого является то, что G(x) = F(x) + C, где С – любая постоянная.

Достаточность.

Доказательство.

Тогда для любого числа C (F(x) + C)΄= F΄(x) + C΄= F΄(x) + 0 = f(x), то есть F(x) + C - первообразная f(x).

Пусть F(x) - первообразная f(x), то есть F΄(x) = f(x).

Необходимость.

Пусть F(x) и G(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x). Тогда (F(x) – G(x))΄= F΄(x) – G΄(x) = f(x) – f(x) = 0, следовательно, F(x) – G(x) = C (по следствию из теоремы Лагранжа).

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на некотором множестве называется ее неопределенным интегралом.

Обозначение:

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная — подынтегральной функции.

Например:

так как

или

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых

Кривые семейства [F(x) + C] называют интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Oy.

этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Например,

т.к.

2.

3.

Действительно,

а

Но, поскольку С1+С2 – произвольная постоянная, выражения в левой и правой частях равны.

формулы интегрирования.

Если

то и

где u=ϕ(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Рассматривая сложную функцию

инвариантности формы первого дифференциала функции имеем:

в силу

Отсюда

подынтегральная функция f(x) четная (нечетная), то первообразная функция будет соответственно нечетной (четной).

Доказательство.

Пусть f(x) - чётная функция, т.е. f(-x)=f(x).

Рассмотрим интеграл

Например,

к этой таблице еще несколько формул, не следующих прямо из таблицы производных, но удобных для вычисления многих интегралов.

таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.

на свойство 5 неопределенного интеграла об его инвариантности.

функция f(x) определена на множестве Х, а функция x =φ(t) – на множестве Φ, причем φ(t)∈X ∀t ∈Ф. Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема на Φ, то

Доказательство.

Для того, чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что производные по х от левой и правой части совпадают.

Полученная формула часто используется «в обратную сторону»:

то есть переменную х заменяется функцией новой переменной t.

Эта формула называется формулой интегрирования заменой переменной.

u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем

Доказательство.

Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида

интеграл:

5.

Таким образом,

формулу для интеграла

6.