Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. (Лекция 2.1)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. (Лекция 2.1)

Содержание

2. Разобьем область D на n произвольных частичных областей (k∈(1,…,n)). Выберем в каждой из частичных областей произвольную
3. Устремим наибольший диаметр частичных областей к нулю, при этом , и рассмотрим предел интегральной суммы Если
4. Определение. Двойным интегралом от функции z=z(x,y) по области D называется предел, к которому стремится интегральная сумма
5. Теорема существования двойного интеграла. Если z(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то ее интегральная сумма
6. 9.2 Свойства двойных интегралов. 1) 2) 3) , . Тогда
7. Свойства двойных интегралов. 4) Если ∀(x,y)∈D то 5) Если , , то , где . 6)
8. 9.3 Вычисление двойных интегралов. Разобьем область D с помощью линий, параллельных осям координат с шагом dx
9. Здесь при вычислении интеграла по dy считается, что x – постоянная. Согласно (9.1) получим: . (9.2)
10. Изменив порядок интегрирования, аналогично получим . (9.3) Правые части формул (9.2) и(9.3) называются повторными (или двухкратными)
11. Примеры: 1)
12. 2)
13. 3)
14. 4)
15. 5) .
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Разобьем область D на n произвольных частичных областей (k∈(1,…,n)).
Выберем в

каждой из частичных областей произвольную точку с координатами . Объем цилиндрического тела между опорной плоскостью Oxy и поверхностью z=z(x,y) над частичной областью равен . Объем всего цилиндрического тела равен

Слайд 3

Устремим наибольший диаметр частичных областей
к нулю, при

этом ,
и рассмотрим предел интегральной суммы
Если этот предел существует, то очевидно, что

Слайд 4

Определение.
Двойным интегралом от функции z=z(x,y) по области D называется предел, к

которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей
– подынтегральное выражение;
z(x,y) – подынтегральная функция;
- элемент (дифференциал) площади;
D – область интегрирования.
Таким образом,

Слайд 5

Теорема существования двойного интеграла.
Если z(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D,

то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел не зависит от способа разбиения области на частичные области
и выбора в них точек .

Слайд 6

9.2 Свойства двойных интегралов.
1)
2)
3) , .
Тогда

Слайд 7

Свойства двойных интегралов.
4) Если ∀(x,y)∈D
то
5) Если , ,

то , где .
6)
- среднее значение z в области D.

Слайд 8

9.3 Вычисление двойных интегралов.
Разобьем область D с помощью линий,
параллельных осям координат

с шагом dx и dy соответственно.
Тогда и, следовательно,
.
При вычислении двойного интеграла будем использовать формулу
, (9.1)
где - площадь поперечного сечения тела плоскостью x=const.
Предположим, что любая прямая, параллельная осям Ox или Oy, пересекает границу области D не более чем в двух точках.

Слайд 9

Здесь при вычислении интеграла по dy считается, что x – постоянная.
Согласно

(9.1) получим:
. (9.2)

Слайд 10

Изменив порядок интегрирования, аналогично получим
. (9.3)
Правые части формул (9.2)

и(9.3) называются повторными (или двухкратными) интегралами.
Процесс расстановки пределов интегрирования называется приведением двойного интеграла к повторному.

Слайд 11