Определенный интеграл

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Определенный интеграл

Содержание

2. Элементы интегрального исчисления 1.Определение определенного интеграла 2.Основные свойства определенного интеграла 3.Формула Ньютона-Лейбница 4.Методы интегрирования 5.Геометрические приложения
3. Определенный интеграл, его свойства и вычисление
4. Понятие определенного интеграла Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a,b]. Разобьем [a,b] на n
5. Геометрическое изображение определения
6. Определение интегральной суммы Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется сумма произведений длин элементарных
7. Определение определенного интеграла Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел (если он существует)
8. Геометрический смысл определенного интеграла
9. Основные свойства определенного интеграла 10 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования (инвариантность): 20
10. Основные свойства определенного интеграла 30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то
11. Основные свойства определенного интеграла 40 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой
12. Основные свойства определенного интеграла 50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то
13. Основные свойства определенного интеграла 70. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в
14. Теорема о среднем значении функции
15. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
16. Методы интегрирования
17. Непосредственное интегрирование Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме
18. Замена переменной Вычислить .
19. Интегрирование по частям Вычислить .
20. Вспомогательная таблица для интегрирования по частям
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Элементы интегрального исчисления
1.Определение определенного интеграла
2.Основные свойства определенного интеграла
3.Формула Ньютона-Лейбница
4.Методы интегрирования
5.Геометрические

приложения определенного интеграла
6.Несобственные интегралы.

Слайд 3

Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Слайд 4

Понятие определенного интеграла
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a,b].

Разобьем [a,b] на n элементарных отрезков ∆xi произвольной длины, возьмем на каждом отрезке ∆xi произвольную точку ci и вычислим значение функции f(ci) в этих точках.

Слайд 5

Геометрическое изображение определения

Слайд 6

Определение интегральной суммы
Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется

сумма произведений длин элементарных отрезков ∆xi на значения функции f(ci) в произвольных точках этих отрезков

Слайд 7

Определение определенного интеграла
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется

предел (если он существует) интегральной суммы для функции f(x) на отрезке [a,b], не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci, найденный при условии, что длины элементарных отрезков (включая и максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.

Слайд 8

Геометрический смысл определенного интеграла

Слайд 9

Основные свойства определенного интеграла
10 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения

переменной интегрирования (инвариантность):

20 При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный (перестановочность):

Слайд 10

Основные свойства определенного интеграла
30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное

число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам (аддитивность):

Слайд 11

Основные свойства определенного интеграла
40 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа

непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций (линейность):

Слайд 12

Основные свойства определенного интеграла
50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования

сохраняет постоянный знак, то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, при условии b>a (монотонность):

если sgn(f(x))=const, то и sgn

= sgn(f(x)).

60. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл от модуля функции (неравенство по модулю)

Слайд 13

Основные свойства определенного интеграла
70. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению

значения этой функции в некоторой промежуточной точке x=c отрезка интегрирования [a,b] на длину отрезка b-a (теорема о среднем значении функции):

Значение f(c) называется средним значением функции на отрезке [a,b]

Слайд 14

Теорема о среднем значении функции

Слайд 15

Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего

и нижнего пределов интегрирования.

Слайд 16

Методы интегрирования

Слайд 17

Непосредственное интегрирование
Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального

выражения к табличной форме путем тождественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.

Вычислить определенный интеграл:

Слайд 18

Замена переменной
Вычислить
.

Слайд 19

Интегрирование по частям
Вычислить
.

Слайд 20

Определенный интеграл

Содержание

Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Понятие определенного интегралаРассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a,b].

Геометрическое изображение определения

Определение интегральной суммыИнтегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется

Определение определенного интегралаОпределенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется

Геометрический смысл определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла10 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения

Основные свойства определенного интеграла30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное

Основные свойства определенного интеграла40 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа

Основные свойства определенного интеграла50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования

Основные свойства определенного интеграла70. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению