Определенный интеграл. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Длина дуги кривой в полярных координатах. (Семинар 19)

по формуле:
Поэтому или , где y’=f’(x)

Дифференциал дуги в прямоугольных координатах

- дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как , то . Это теорема Пифагора для бесконечно малого треугольника.

Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Пусть L – длина дуги кривой , , - непрерывно
дифференцируемые функции на заданном отрезке.
Формула для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt; dy=y’dt. Имеем
Интегрируя последнее выражение в пределах от до t=T получим длину дуги

дуги в полярных координатах на основании формулы , где x,y – прямоугольные декартовы координаты точки дуги.
Формулы перехода:
Отсюда , следовательно, или (1), где
Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой между точками и , где - полярные координаты.
Решение.
Интегрируя равенство (1) в пределах от до получаем длину дуги в полярных координатах
, где и - производная

форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках. Уравнение линии (1), где а – параметр цепной линии, а>0. Или проще (1’) – гиперболический косинус.
Решение.
b – абсцисса точки В; h – ордината точки В.
Дифференцируя уравнение (1’) получаем . Далее . Тогда
. Далее, имеем
2. Найти длину дуги окружности, заданной параметрическими уравнениями
от t=0 до t=T
Решение
Здесь dx=-asintdt; dy=acostdt. Поэтому и, следовательно
3. Найти длину дуги астроиды
Решение.
Запишем уравнение астроиды в следующем виде . Замена
. Получаем параметрические уравнения астроиды
(1).