Основные понятия комбинаторики

Август 11, 2022

Главная
Математика
Основные понятия комбинаторики

Содержание

2. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или
3. Пример: если взять 10 различных цифр: 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 и составлять из них комбинации, то будем
4. Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие
5. Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа
6. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n- факториалом и пишут n!=1*2*3…*(n-1) *n
7. Пример 1. Вычислить: а) Решение. а) в) б) в) б)
8. Перестановки. Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Перестановки
9. Размещения. Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от
10. Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
11. Сочетания Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга
12. Число сочетаний из m элементов по n обозначаются: (С-первая буква французского слова combination- сочетание). В общем
13. Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими
14. Решение комбинаторных задач Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить
15. Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать? Решение.
16. Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? Решение. .
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько

различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Определение комбинаторики

Слайд 3

Пример: если взять 10 различных цифр:
0,1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 и составлять из

них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

В комбинаторике решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.

Слайд 4

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр

(например, 143 и 431),
другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207),
третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Слайд 5

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.
В зависимости от правил составления

можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Слайд 6

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-

факториалом и пишут
n!=1*2*3…*(n-1) *n

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Слайд 7

Пример 1. Вычислить: а)

Решение. а)
в)
б)
в)
б)

Слайд 8

Перестановки.
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком

элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Рn, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).
Число перестановок можно вычислить по формуле

или с помощью факториала:

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.
Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Слайд 9

Размещения.
Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения,

которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.
Размещения обозначаются символом

где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации. (А-первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»).

Число размещений можно вычислить по формуле

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Слайд 10

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля

можно составить для пяти претендентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

Слайд 11

Сочетания
Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n,

которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа)
.

Слайд 12

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются:
(С-первая буква

французского слова combination- сочетание).
В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов:

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Кроме того, при решении задач используются следующие
формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

По определению полагают

Слайд 13

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для

работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать

пособами.
Находим по первой формуле:

Слайд 14

Решение комбинаторных задач
Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник

нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

Слайд 15

Задача 2.
Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами

это можно сделать?

Решение.

Слайд 16

Задача 3.
В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест

между ними возможно?

Решение.

Основные понятия комбинаторики

Содержание

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько

Пример: если взять 10 различных цифр:0,1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 и составлять из

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.В зависимости от правил составления

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-

Пример 1. Вычислить: а) Решение. а) в) б) в) б)

Перестановки.Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком

Размещения.Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения,

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля

Сочетания Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n,

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются: (С-первая буква