Основные понятия вычислительной математики. Элементы теории погрешностей

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Основные понятия вычислительной математики. Элементы теории погрешностей

Содержание

2. Предмет вычислительной математики Математическая модель –приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции, явления и т.д.). Математическое
3. Основные понятия: метрические пространства Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с требуемой или, по
4. Линейные пространства Линейное пространство- частный случай метрического. В нем определены операции сложения элементов и умножения их
5. Линейные нормированные пространства. Линейное пространство L называется нормированным, если введена норма : 1) - вещественное число
6. Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары. Полные метрические пространства. Последовательность элементов метрического пространства xn
7. Примеры полных метрических пространств 1. R – множество вещественных чисел. и 2. Rn - пространство векторов
8. Примеры метрических пространств 4. L2 [a, b ] – множество функций интегрируемых с квадратом на [a,
9. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Точность решения задачи оценивается абсолютной
10. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Неустранимая погрешность обусловлена неточностью исходных
11. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Пусть решение y, соответствует входным
12. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Рассмотрим подробнее погрешность округления чисел,
13. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры В ЭВМ чаще всего используется
14. Примеры Пример 1. Необходимо отыскать минимальный корень уравнения. Вычисления производим в десятичной системе счисления, причем в
15. Примеры Как видно из сравнения полученных результатов, применение "неудачного" алгоритма завышает результат на 30 %. Это
16. Примеры Пример 2 Требуется вычислить: Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х значащих цифр,
17. Примеры Пусть теперь выражение записано в обратном порядке: Выполним суммирование как ЭВМ: + 83 + 109
18. Погрешности арифметических операций Погрешность вычисления функций:
19. Рекомендации для снижения ошибок округления: В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и дистрибутивности (распределительный) не всегда
20. При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующее Погрешность метода должна быть на порядок меньше
21. Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы: Решить задачу различными численными методами и
22. Прямые и итерационные методы и алгоритмы решения математических задач Прямые и итерационные методы решения математических задач.
23. Прямые (точные) численные методы и алгоритмы Решение будет получено за конечное число шагов; Количество шагов и
24. Итерационные численные методы и алгоритмы Решение определяется как предел бесконечной итерационной последовательности; Определены правила получения итерационной
25. Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов Преимущество: В отсутствие вычислительной погрешности дают точный
26. Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов Особенности реализации: Требуют исследования влияния ошибок округления
27. Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для итерационных методов Преимущество: Вычислительная погрешность не накапливается и даже
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Предмет вычислительной математики
Математическая модель –приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции,

явления и т.д.).
Математическое моделирование, вычислительный эксперимент – для исследования на ЭВМ очень сложных процессов (натурный эксперимент не возможен).
Основные этапы математического моделирования:
Разработка модели – формализация.
Разработка метода (алгоритма) для решения уравнений модели или определения ее параметров.
Проведение необходимых расчетов (создание программ, тестирование, получение результатов).
Анализ результатов – практическое использование.

Слайд 3

Основные понятия: метрические пространства
Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения

с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью.
Отклонение истинного решения от приближенного называется погрешностью.
Для оценки близости полученного решения к истинному необходимо ввести понятие расстояния (метрики) между парой элементов некоторого множества.
Множество элементов одной природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние (метрика) , которое удовлетворяет следующим условиям:
1) - вещественное неотрицательное число
2)
3 - свойство симметрии
4) - неравенство треугольника

Слайд 4

Линейные пространства
Линейное пространство- частный случай метрического. В нем определены операции сложения

элементов и умножения их на число, при этом выполнены аксиомы:
1)
2)
3) существует единственный такой, что
4) -единственный, такой, что
5) и
6)
7)

Слайд 5

Линейные нормированные пространства.
Линейное пространство L называется нормированным, если введена норма :
1)

- вещественное число
2) где - вещественное число
3)
Всякое нормированное пространство – метрическое. Метрика может быть введена следующим образом:
В линейном метрическом пространстве норма – расстояние до нулевого элемента.

Слайд 6

Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары. Полные метрические пространства.

Последовательность элементов метрического пространства xn называется сходящейся (по метрике) к элементу x, если
Последовательность xn называется фундаментальной, если
найдется такое , что при всех
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того же пространства.
Открытым (замкнутым) шаром с центром в точке x0 и радиусом r назовем множество точек метрического пространства , для которых
- окрестность элемента - шар с центром в этой точке и радиусом

Слайд 7

Примеры полных метрических пространств
1. R – множество вещественных чисел.
и
2.

Rn - пространство векторов с вещественными координатами
а)
б)
в)
3. C [a, b ] – множество функций непрерывных на [a, b]

Слайд 8

Примеры метрических пространств
4. L2 [a, b ] – множество функций интегрируемых

с квадратом на [a, b] (неполное пространство)
5. Пространство квадратных матриц размера n.
Норма матрицы согласована с нормой вектора, если
а) , согласована с
б) , согласована с

Слайд 9

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры
Точность

решения задачи оценивается абсолютной или относительной погрешностью.
Абсолютная погрешность:
где x*- точное решение,
x - численное решение.
Относительная погрешность:
Полная погрешность вычислений состоит из двух составляющих:
1) неустранимая погрешность; 2) устранимая погрешность.

Слайд 10

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры
Неустранимая

погрешность обусловлена неточностью исходных данных (модели и ее параметров) и никаким образом не может быть уменьшена в процессе вычислений.
Устранимая погрешность состоит из двух составляющих:
а) погрешность аппроксимации (метода);
б) вычислительная погрешность (погрешность округления).
Эти составляющие могут быть уменьшены выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений.
Задача вычисления y = A(x) называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (т. е. непрерывно зависит от входных данных задачи).

Слайд 11

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры
Пусть

решение y, соответствует входным данным x. Реально мы имеем возмущенные входные данные с погрешностью δx, т.е. x + δx и находим возмущенное решение: y + δy = A(x+δx).
Эта погрешность входных данных порождает неустранимую погрешность решения: δy = A(x+δx) - A(x).
Если решение непрерывно зависит от входных данных, то всегда при и задача устойчива по входным данным.
Если небольшая погрешность в исходных данных влечет большую погрешность в решении – то задача плохо обусловлена .

Слайд 12

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры
Рассмотрим

подробнее погрешность округления чисел, участвующих в вычислениях. В позиционной системе счисления с основанием r запись
означает, что
Здесь r – целое число, большее единицы. Каждое из чисел может принимать одно из значений {0, 1, …, r-1}. Числа называются разрядами. Эта запись вещественного числа называется также его представлением в форме числа с фиксированной запятой.

Слайд 13

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры
В

ЭВМ чаще всего используется представление чисел в форме с плавающей запятой. Так как наиболее часто в компьютерах применяется двоичная система с плавающей запятой, то вещественное число можно представить виде
Здесь p - целое число и называется порядком числа a,
- мантисса
Ограничения на порядки чисел, представляемых в ЭВМ , порой приводят к прекращению вычислений (так называемое исчезновение порядка); в других случаях относительно небольшая разрядность представления чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью.

Слайд 14

Примеры
Пример 1. Необходимо отыскать минимальный корень уравнения. Вычисления производим в десятичной

системе счисления, причем в числе после округления оставляем четыре действующие цифры (разряда):
Рассмотрим другой алгоритм вычисления корня, для чего избавимся от иррациональности в числителе

Слайд 15

Примеры
Как видно из сравнения полученных результатов, применение "неудачного" алгоритма завышает результат

на 30 %. Это явление в практике вычислений называется потерей значащих цифр, и часто наблюдается при вычитании близких величин. Потеря значащих цифр, например, довольно часто приводит к существенному искажению результатов при решении даже сравнительно небольших систем линейных алгебраических уравнений.

Слайд 16

Примеры
Пример 2
Требуется вычислить:
Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х

значащих цифр, получим значение с:
0,476
0,411
1,47
26,2
83,
111,557 ≈ 112.
ЭВМ выполняет действия поочередно (складывает пару чисел) и округляет результат после каждого действия.
Выполним суммирование слева направо в порядке записи (как ЭВМ):
+ 0,476 + 0,887 + 2,36 + 28,6
0,411 1,47 26,2 83,
0,887 ≈ 0,887 2,357≈2,36 28,56 ≈28,6 111,6 ≈ 112.

Слайд 17

Примеры
Пусть теперь выражение записано в обратном порядке:
Выполним суммирование как ЭВМ:
+ 83

+ 109 + 110 + 110
26,2 1,47 0,411 0,476
109,2 ≈ 109 110,47 ≈ 110 110,411 ≈ 110 110,476 ≈ 110
От перестановки слагаемых сумма изменилась, то есть

Слайд 18

Погрешности арифметических операций
Погрешность вычисления функций:

Слайд 19

Рекомендации для снижения ошибок округления:
В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и

дистрибутивности (распределительный) не всегда соблюдаются.
При сложении и вычитании последовательности чисел действия необходимо начинать с наименьших по абсолютной величине значений.
Следует избегать вычитания двух близких чисел, преобразуя выражения.
Количество арифметических действий для решения задачи нужно сводить к минимуму.
Для уменьшения ошибки округления расчеты следует проводить с повышенной разрядностью

Слайд 20

При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующее
Погрешность метода должна

быть на порядок меньше неустранимой погрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи.
Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности

Слайд 21

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:
Решить задачу

различными численными методами и результаты сравнить.
Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения являются неустойчивым – выбрать другой.

Слайд 22

Прямые и итерационные методы и алгоритмы решения математических задач
Прямые и

итерационные методы решения математических задач. Основные определения
Преимущества, недостатки и особенности реализации

Слайд 23

Прямые (точные) численные методы и алгоритмы
Решение будет получено за конечное

число шагов;
Количество шагов и процедура вычисления на каждом шаге строго определены.
Если предположить, что вычислительная погрешность равна нулю, то такие методы дали бы точный результат.
(Примеры – формулы для решения квадратных уравнений, простейших тригонометрических уравнений).

Слайд 24

Итерационные численные методы и алгоритмы
Решение определяется как предел бесконечной итерационной последовательности;
Определены

правила получения итерационной последовательности (очередной итерации метода) при заданной предыдущей итерации (или нескольких предыдущих итераций);
Количество шагов, необходимых для вычисления решения с заданной точностью заранее не определено.

Слайд 25

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов
Преимущество: В отсутствие

вычислительной погрешности дают точный результат.
Недостатки:
При большом количестве шагов вычислительная погрешность может накапливаться.
Может потребоваться сохранять большие объемы информации на каждом шаге для хранения промежуточных результатов (ограничение на ресурсы памяти).

Слайд 26

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов
Особенности реализации:
Требуют исследования

влияния ошибок округления и, возможно, преобразования формул вычисления.
Не используются при большой размерности задачи.

Слайд 27

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для итерационных методов
Преимущество:
Вычислительная погрешность не

накапливается и даже может быть исправлена при очередной итерации.
Недостаток:
Если итерационная последовательность сходится медленно, то для достижения требуемой точности решения может потребоваться слишком большое число шагов (ограничение на ресурсы времени)

Основные понятия вычислительной математики. Элементы теории погрешностей

Содержание

Предмет вычислительной математикиМатематическая модель –приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции,

Основные понятия: метрические пространстваГлавная задача численных методов – фактическое нахождение решения

Линейные пространстваЛинейное пространство- частный случай метрического. В нем определены операции сложения

Линейные нормированные пространства. Линейное пространство L называется нормированным, если введена норма :1)

Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары. Полные метрические пространства.

Примеры полных метрических пространств1. R – множество вещественных чисел. и 2.

Примеры метрических пространств4. L2 [a, b ] – множество функций интегрируемых

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примерыТочность

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примерыНеустранимая

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примерыПусть

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примерыРассмотрим

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примерыВ

ПримерыПример 1. Необходимо отыскать минимальный корень уравнения. Вычисления производим в десятичной

ПримерыКак видно из сравнения полученных результатов, применение "неудачного" алгоритма завышает результат

ПримерыПример 2Требуется вычислить:Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х

ПримерыПусть теперь выражение записано в обратном порядке:Выполним суммирование как ЭВМ:+ 83

Погрешности арифметических операцийПогрешность вычисления функций:

Рекомендации для снижения ошибок округления:В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и

При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующееПогрешность метода должна

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:Решить задачу

Прямые и итерационные методы и алгоритмы решения математических задач Прямые и

Прямые (точные) численные методы и алгоритмы Решение будет получено за конечное

Итерационные численные методы и алгоритмыРешение определяется как предел бесконечной итерационной последовательности;Определены

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методовПреимущество: В отсутствие

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методовОсобенности реализации:Требуют исследования

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для итерационных методовПреимущество:Вычислительная погрешность не

Похожие презентации