Содержание
- 2. Литература 1 .Гмурман В.Е. Курс теории вероятностей. М.: В.Ш. 1977,1999. 2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей
- 3. Пространство элементарных событий Ω Пространством элементарных событий Ω называется множество элементарных событий ωi , удовлетворяющих данному
- 4. Случайные события Случайным событием или просто событием называется подмножество А множества Ω: A ⊆ Ω. А={ω1,
- 5. Действия над событиями A∪B - объединение множеств (событий) A∩B – пересечение множеств (событий) Ā= Ω –
- 6. Комбинаторика Основное правило комбинаторики: пусть требуется совершить одно за другим К действий и первое действие можно
- 7. Сочетания: Перестановки: Размещения: Комбинации с возвращением:
- 8. Вероятность Аксиоматическое определение вероятности: Вероятность на пространстве элементарных событий Ω называется функция Р(А), обладающая свойствами: Р(Ω)=1;
- 9. Классическая вероятность: Р(А)=m/n, n-число элементарных событий для Ω; m-число элементарных событий для А. Геометрическая вероятность: Р(А)=LA/LΩ;
- 10. Вероятность суммы вероятность суммы для совместных событий А и В определяется по соотношению Р(А U В)
- 11. Условная вероятность Условная вероятность для зависимых событий определяется по соотношению Р(А/В) = Р(А ∩ В) /
- 12. Вероятность произведения Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из этих событий на условную вероятность
- 13. Формула полной вероятности А-произвольное событие; События Н1, Н2,…Нn попарно несовместны, называются гипотезами и образуют полную группу
- 14. Формула Байеса Это вероятность наступления К гипотезы при условии, что событие А произошло.
- 15. Испытания Бернулли Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых с постоянной вероятностью Р происходит событие
- 16. Случайная величина Случайная величина ξ это действительная функция ξ= ξ (ω), ω∈Ω, определенная на пространстве элементарных
- 17. Случайная величина дискретного типа Закон задается в виде ряда распределения-это совокупность пар чисел (xk,Pk), где xk-значения,
- 18. Функция распределения F(x)=P(ξ Это вероятность того, что случайная величина принимает значение расположенное левее точки х. Функция
- 19. Свойства функции распределения F(-∞)=0; F(∞)=1; F(x)-неубывающая функция; х1 F(x)-непрерывная функция; limF(x)=F(x0); x→x0-0; Вероятность попадания случайной величины
- 20. Случайная величина непрерывного типа f(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ.
- 21. Плотность вероятностей Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ, называется предел отклонения вероятности попадания ξ на малый
- 22. Свойства плотности вероятностей График плотности вероятностей f(x) – кривая распределения вероятностей; Плотность вероятностей неотрицательная функция: f(x)
- 23. Числовые характеристики случайных величин Математическое ожидание – это число, которое характеризует среднее значение случайной величины: для
- 24. Свойства математического ожилания 1 Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной величине: МС=С; 2 Постоянную
- 25. Дисперсия случайной величины Дисперсией случайной величины ξ называется число Dξ=М(ξ – Мξ)2, Которое является мерой рассеяния
- 26. Для дискретной ξ: Для непрерывной ξ:
- 27. Свойства дисперсии 1 Дисперсия положительная величина Dξ≥0; 2 Дисперсия постоянной величины равна нулю: DC=0; 3 Константу
- 28. 4 Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин : D(ξ+η)=Dξ+Dη; D(ξ-η)=Dξ+Dη;
- 29. Моменты Начальный момент К порядка: νk=Mξk, ν1=Mξ; Для дискретной ξ: Для непрерывной ξ:
- 30. Центральный момент К порядка: μк=М(ξ-Мξ)к, μ1=0, μ2=Dξ; Для дискретной ξ: Для непрерывной ξ:
- 31. Квантиль Квантиль порядка Р для распределения F(x) называется значение εР для которого F(εР )=P.
- 32. Типовые законы распределения случайных величин Биномиальный закон: Проводится серия из “n”однородных и независимых опытов. А –
- 33. Целочисленная случайная величина ξ подчинена биномиальному закону, если вероятности ряда распределения вычисляются по формуле Бернулли: Математическое
- 34. Закон Пуассона ξ – дискретная случайная величина, которая принимает целые неотрицательные значения: k=0,1,2,…,k,…, последовательность этих значений
- 35. Равномерное распределение Непрерывная случайная величина ξ распределена по равномерному закону, если плотность распределения имеет вид: Равномерное
- 36. Функция распределения Математическое ожидание: Мξ=(в+а)/2; Дисперсия: Dξ=(b-a)2/12.
- 37. Закон экспоненциального распределения Непрерывная случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону, если плотность вероятностей задана формулой:
- 38. Функция распределения Математическое ожидание: Мξ=1/λ; Дисперсия: Dξ=1/λ2.
- 39. Закон нормального распределения (закон Гаусса) Плотность вероятностей: Функция распределения: Математическое ожидание: Мξ=а; Дисперсия: Dξ=σ2.
- 40. Интеграл вероятностей Интеграл вероятностей есть функция распределения Гауссовской случайной величины Z: MZ=0; DZ=1; F(-∞)=0; F(0)=0.5; F(∞)=1;
- 41. Локальная теорема Муавра-Лапласа При неограниченном увеличении числа испытаний “n” формула Бернулли сводится к формуле Гаусса: Формула
- 42. Интегральная теорема Муавра-Лапласа При неограниченном увеличении числа испытаний “n” вероятность попадания случайной на заданный интервал (a,b]
- 43. Системы случайных величин Совокупность нескольких случайных величин, рассматриваемых совместно называется системой случайных величин: {ξ1 ,ξ 2
- 44. Законы распределения системы Таблица распределения является формой записи закона распределения системы дискретной случайной величины: Pij=P(ξ=xi, η=yj);
- 45. Функция распределения системы F(x,y)=P(ξ Для непрерывной системы случайных величин: f(x,y) – плотность распределения системы случайных величин.
- 46. Плотность системы случайных величин Свойства плотности вероятностей системы 1 Плотность системы неотрицательная функция f(x,y)≥0; 2 Плотность
- 47. Вероятность попадания системы в область D:
- 48. Дисперсия системы Дисперсия системы определяется по законам отдельных составляющих системы: Среднее квадратическое отклонение характеризует рассеивание системы
- 49. Корреляционный момент Корреляционный момент есть математическое ожидание центрированной системы: Для дискретной системы:
- 50. Для непрерывной системы: х,у – возможные значения ξ, η; f(x,y) – плотность вероятностей системы. Геометрически Кξη
- 51. Свойства корреляционного момента Корреляционный момент симметричен: Кξη = К ηξ; Кξξ = Dξ; Кξξ = M(x-Mξ)(x-Mξ)=Dξ;
- 52. Коэффициент корреляции Наличие размерности у корреляционного момента вызывает неудобства, поэтому вместо корреляционного момента используют коэффициент корреляции:
- 53. Коэффициент корреляции обладает свойствами корреляционного момента: показывает меру линейной связи между случайными величинами: rξη = 0,
- 54. Условное математическое ожидание; линейная регрессия Для дискретной ξ: Для непрерывной ξ : Функция регрессии показывает среднее
- 56. Скачать презентацию