Основные свойства простейших геометрических фигур. Геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок

Содержание:

Геометрические фигуры: Геометрические фигуры: точка, прямаяГеометрические фигуры: точка, прямая, Геометрические фигуры:

Основные свойства простейших геометрических фигур

Геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок.

Точка и прямая

Точка А

Прямая АВ

ТОЧКА

ПРЯМАЯ

А

В

А

Прямая а

a

Точка и прямая

В

А

D

с

R

F

a

F

R

В

b

a

A

D

C

E

K

Перечерти рисунок в тетрадь и ответь на вопросы:

1. Какие точки принадлежат

Пересечение прямых

а

b

А

Прямые а и b пересекаются в точке А

а ∩ b

Из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна

Отрезок

А

В

С

Точки А и В - концы отрезка

А

D

С

В

L

R

AD ∩ DB = D

RC

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Точки А,В и С лежат на одной прямой. Известно,

Полуплоскость, луч, угол.

Прямая разбивает
плоскость на две полуплоскости.

а

а

А

В

С

Точки А и В лежат в разных полуплоскостях

Точки B и C

а

А

В

С

Точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.

Луч

Точка разбивает прямую на две части-

А

В

Луч АВ-
А- начало луча

С

Луч АС-
А-

Лучи

А

В

Луч АВ

С

D

Луч CD

K

M

Луч KM

F

N

Луч FN

Назови изображенные лучи

А

О

С

D

F

E

T

K

Сделай в тетради такой же рисунок и запиши названия

Угол

Фигура, состоящая из двух лучей с общим началом, называется углом.

А

С

В

∠ ВАС

М

N

К

∠

Запиши в тетрадь углы, изображенные на рисунке:

А

О

С

Е

К

М

Т

R

S

X

Z

P

Виды углов

Развёрнутый угол

А

∠ А=180°

В

∠ В=90°

Прямой угол

Острый угол

С

∠ С < 90°

Тупой угол

Е

90°

Сделай в тетради такой же рисунок:

К

М

N

O

A

E

B

C

D

T

P

S

Запиши названия углов и подпиши какого

Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен

Теоремы и аксиомы.

Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательства.

Теоремой называется утверждение, которое

Задача

Между сторонами угла (аb), равного 80°, проходит луч с. Найти

Треугольники

Отметим три точки, не лежащие на одной прямой.

А

В

С

Соединим их отрезками.

Получим фигуру,

Периметр треугольника

А

В

С

Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

Р = АВ

Равенство треугольников

А

В

С

Р

Q

R

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и

1. Δ АВС =Δ NMK, АВ=3; ВС=6; АС=8. Найдите стороны Δ

Параллельные прямые

а

b

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

а║b

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой,

можно провести не

Задача

а

b

c

d

e

m

Выбери пары параллельных прямых и запиши их в тетрадь.

Проверь: правильно ли записаны пары параллельных прямых.

а ║ b ;

c ║

Смежные и вертикальные углы

1

2

А

В

С

D

Углы 1 и 2 – смежные.

АС – общая

Свойство смежных углов

1

2

Сумма смежных углов равна 180°.

∠ 1 + ∠ 2

Свойство вертикальных углов

1

2

3

4

Вертикальные углы равны

∠1=∠3

∠2=∠4

1

2

Сделай в тетради такой же рисунок.

Запиши как называются углы 1 и

Задачи

1.Один из смежных углов равен 58°. Найти второй угол.

1

2

58° меньше 90°,

Задачи

2.Один из смежных углов на 20° больше другого. Найти эти углы.

1

2

Дано:

Задачи

3.Найти смежные углы, если известно, что они относятся как 2 :

Задачи

4.Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 125

Перпендикулярные прямые

а

b

A

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

а

Перпендикуляр

а

В

С

Перпендикуляром называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих

Найди перпендикулярные прямые и запиши их в тетрадь:

а

b

c

d

k

m

n

p

Биссектриса угла

А

В

С

D

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит

1-ый и 2-ой признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (По двум

1-ый и 2-ой признаки равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников (По стороне

Задачи

Почему равны треугольники АDB и ADC?

К

М

О

Р

Н

Почему равны треугольники ОМК и ОРН?

Какой

Высота, медиана и биссектриса треугольника

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется

У любого треугольника – три высоты:

Высоты перпендикулярны прямым, содержащим противоположные стороны.

Три

Высота, медиана и биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется

У любого треугольника – три биссектрисы:

Биссектрисы делят углы треугольника пополам.

Три биссектрисы

Высота, медиана и биссектриса треугольника

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется

У любого треугольника – три медианы:

Медианы делят противоположные стороны треугольника пополам.

Три

Равнобедренный треугольник

А

В

С

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

АВ=ВС

Равные стороны

Равносторонний треугольник

А

В

С

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

АВ=ВС=АС ⇒

Треугольник АВС

Свойство углов равнобедренного треугольника

А

В

С

Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника называется углом

Сделай в тетради такой же рисунок и ответь письменно на вопросы:

М

N

Р

Если

Свойство медианы равнобедренного треугольника

А

В

С

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является

Образец решения задачи

В

А

С

1.Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см. Найти боковые стороны,

Образец решения задачи

В

А

С

2.В равнобедренном треугольнике боковая сторона на 3 см больше

3-ий признак равенства треугольников

А

В

С

А1

В1

С1

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.

а

b

c

8

7

6

5

4

3

2

1

∠2 и ∠5

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.

а

b

c

8

7

6

5

4

3

2

1

∠2 и ∠8

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.

а

b

c

8

7

6

5

4

3

2

1

∠1 и ∠5

Признаки параллельности прямых

а

b

c

4

3

1

2

1 признак: Если при пересечении двух прямых секущей внутренние

Признаки параллельности прямых

а

b

c

4

3

1

2

2 признак: Если при пересечении двух прямых секущей сумма

Признаки параллельности прямых

а

b

c

4

3

1

2

3 признак: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные

Образец решения задачи

1.Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных

Образец решения задачи

2.Разность двух внутренних односторонних углов, которые получаются при пересечении

Образец решения задачи

3.Сумма внутренних накрест лежащих углов, которые получаются при пересечении

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника

А

В

С

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

∠А+∠В+∠С=180°

Сумма углов треугольника=180°.

А

В

С

а

1

∠А=∠1 (внутр.накрест леж)

∠В=∠2 (внутр.накрест леж)

∠А+∠В+∠С=

∠1+

D

К

∠DCK

Через точку С проведем

У равностороннего треугольника все углы равны 60°.

А

В

С

∠А+∠В+∠С=180°

∠А=∠В=∠С⇒

∠А=∠В=∠С=180°:3=60°

ΔАВС- равносторонний

Задачи для устного решения:

В треугольнике АВС один угол равен 50º, второй

Задачи для устного решения:

Существует ли треугольник, у которого углы равны 80º,

Задачи для устного решения:

Существует ли треугольник, у которого два угла тупые?

Подсказка

Задачи для устного решения:

Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть

Найти углы треугольника, если известно, что второй угол больше первого на

Найди неизвестные углы:

65º

?

45º

?

35º

75º

1)

1)

3)

2)

3)

2)

75º

70º

80º

50º

?

?

?

?

1 вариант

2 вариант

Внешний угол треугольника.

А

В

С

∠DАB – внешний угол

∠АСМ - внешний угол

∠СВК –

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Определение прямоугольного треугольника

Треугольник называется прямоугольным, если один из

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Первый признак

Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Второй признак

Если катет и прилежащий острый угол одного

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Третий признак

Если гипотенуза и прилежащий острый угол одного

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четвертый признак

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно

Расстояние от точки до прямой

A

B

C

ВС называется перпендикуляром

АВ называется наклонной

АС называется

Соотношения между сторонами и углами треугольника

А

В

С

Если ∠B>∠C, то АС > АВ.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

А

В

С

D

AB < AC

Неравенство треугольника

A

C

B

AB < AC + BC

AC < AB + BC

BC <

Задача: Существует ли треугольник с данными сторонами и почему?

8 см, 10

Задачи для устного решения:

Ответ

1.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:2:4?

2.Могут ли

Окружность.

O

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от данной

Касательная к окружности

O

Прямая может не пересекать окружность

а

Прямая может пересекать окружность в

Построение касательной

O

а

1.В точку касания проводим радиус

2.Через точку касания проводим прямую перпендикулярную

Касание двух окружностей (внутреннее)

O

Если две окружности имеют общую касательную и центры

Касание двух окружностей (внешнее)

O

Если две окружности имеют общую касательную и центры

Окружность, описанная около треугольника

Центр окружности, описанной около треугольника лежит в точке

Окружность, вписанная в треугольник

Центр окружности, вписанной в треугольник лежит в точке

Построение угла, равного данному

О

1.Проводим окружность с центром в т.О произвольным радиусом

К

Р

2.Точки

Построение биссектрисы угла

О

1.Проводим окружность с центром в т.О произвольным радиусом

К

Р

2.Точки пересечения

Деление отрезка пополам

А

1.Проводим окружность с центром в т.А и радиусом >

Построение прямой перпендикулярной данной (точка лежит на прямой)

А

1.Проводим окружность с центром

Построение прямой перпендикулярной данной (точка лежит вне прямой)

А

1.Проводим окружность с центром

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

1.Проводим прямую а

2.На

Построение треугольника по трём сторонам

1.Проводим прямую а

2.На прямой а циркулем откладываем

b

a

A

D

C

E

K

2. K∉ b, E ∉ b, C ∉ b.

1. K∈ а,

Ответы:

М

N

Р

Если в Δ МNP MN=NP, то

∠М =∠ Р,

как углы при основании

1

2

Углы 1 и 2 называются смежными.

Их свойство: ∠1+∠2=180°.

1

2

3

4

Углы 1 и 3

Шпаргалка для решения задач на равенство треугольников

Почему равны треугольники DBА и

В треугольнике АВС один угол равен 50º, второй 70º. Найти третий

Не существует!
Так как величина тупого угла больше 90º, а сумма двух

Не существует!
Так как 80º+30º+60º=170º≠180º

Назад

Два тупых угла в треугольнике!?
Как такое может быть?

Мы не можем

Задача: Существует ли треугольник с данными сторонами и почему?

8 см, 10

Задачи для устного решения:

Назад

1.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:2:4?

2.Могут ли