Аналитическая геометрия Лекции8,9

Прямая на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты

Теорема. Всякое уравнение первой степени
где А и В

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой

о

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть

.

Пусть точка лежит на прямой. Точка -произвольная точка прямой.

.

Тогда скалярное произведение

Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору:

Общее уравнение прямой
Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой

Пусть и

Тогда из условия коллинеарности векторов
и получаем каноническое, т.

Пример

Написать уравнения прямых, проходящих через точку
параллельно и перпендикулярно

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть

Координаты этих векторов пропорциональны:
Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрические уравнения прямой
Приравняем обе части соотношения
к t. Получим параметрические

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Преобразуем уравнение
к виду

Обозначив
,
где ,
получим

Уравнение прямой ,проходящей через точку

Пусть точка лежит на

Уравнение прямой в отрезках

Взаимное расположение прямых

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы общими уравнениями

Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями

Пусть даны прямые

Тогда

Условия параллельности

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно

Условие перпендикулярности

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до
прямой